Uma sala possui as seguintes dimensões: 10 pés times 12 pés times 14 pés. Uma mosca voa de um canto a outro, diametralmente oposto. (a) Determine o vetor deslocamento em um sistema com os eixos coordenados paralelos às bordas da sala. (b) Qual a intensidade do deslocamento? © O comprimento da trajetória percorrida pela mosca poderia ser menor do que essa distância? (d) Se a mosca caminhasse em vez de voar, qual é a menor distância possível?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma sala com dimensões de 10 pés (comprimento) × 12 pés (largura) × 14 pés (altura). Uma mosca voa de um canto a outro, ou seja, de um ponto a(0, 0, 0) até o ponto b(10, 12, 14). Vamos trabalhar com vetores e entender conceitos de deslocamento e distância. Para resolver, vamos precisar entender como representar vetores em um sistema de coordenadas, calcular a intensidade de um vetor e discutir trajetórias mínimas.

Passo 2

Item a): Determinar o vetor deslocamento no sistema de coordenadas.
Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas onde as arestas da sala são paralelas aos eixos x, y e z. Suponha que a origem (0,0,0) está em um canto da sala e o ponto diametralmente oposto é (10, 12, 14). O vetor deslocamento d que representa o movimento da mosca de a até b é dado pelas diferenças das coordenadas:
d = (xb - xa, yb - ya, zb - za) = (10 - 0, 12 - 0, 14 - 0) = (10, 12, 14)

Passo 3

Item b): Calcular a intensidade do deslocamento.
A intensidade de um vetor, também chamada de módulo, é calculada usando a fórmula:
|d| = raizx^2 + y^2 + z^2
Substituindo os valores do vetor deslocamento:
|d| = raiz10^2 + 12^2 + 14^2 = raiz100 + 144 + 196 = raiz440 approx 20.98 pés é

Passo 4

Item c): Verificar se a trajetória percorrida pela mosca poderia ser menor que essa distância.
A distância de deslocamento é a menor distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Portanto, qualquer outra trajetória que a mosca tome, que não seja uma linha reta, será necessariamente maior ou igual a essa distância. Assim, a trajetória percorrida pela mosca não pode ser menor que 20.98 pés.

Passo 5

Item d): Determinar a menor distância possível se a mosca caminhasse em vez de voar.
Se a mosca for caminhar, ela precisa seguir as superfícies da sala (como o chão, paredes ou teto). A menor distância que ela pode percorrer caminhando é ao “desdobrar” a sala como se fosse uma superfície plana. Por exemplo, caminhando pelo chão e depois subindo uma parede, a distância mínima pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras em duas dimensões.
Vamos considerar que a mosca caminha pelo chão e depois sobe uma parede:
Distância = raiz(10)^2 + (12 + 14)^2 = raiz100 + 676 = raiz776 approx 27.86 pés âé
Portanto, a menor distância possível caminhando é aproximadamente 27.86 pés.

Resposta

(a) O vetor deslocamento é d = (10, 12, 14);
(b) A intensidade do deslocamento é aproximadamente 20.98 pés;
© Não, a trajetória percorrida pela mosca não pode ser menor que essa distância;
(d) A menor distância possível caminhando é aproximadamente 27.86 pés.

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