Suponha que você construa um aparelho com duas máquinas térmicas, no qual a energia de exaustão de de uma delas é a energia de entrada para a segunda máquina térmica. Isto significa que as duas máquinas estão funcionando em série. Seja, e1 e e2 as eficiências das máquinas.
a) A eficiência total do dispositivo é definida como o trabalho total de saída dividido pela energia colocada na primeira máquina por calor. Mostre que a eficiência total é dado por:
e=e1+e2-e1 e2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas máquinas térmicas que estão trabalhando uma depois da outra, ou seja, a energia que sai da primeira máquina entra na segunda. A eficiência de cada máquina é dada por e . O que a gente precisa encontrar é a eficiência total do sistema, que é o trabalho total que a gente consegue dividir pela energia que colocamos na primeira máquina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eficiência e como elas se combinam quando as máquinas estão em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a eficiência e = WQin de uma máquina térmica é definida como a razão entre o trabalho realizado ( e1 = W1Q1 ) e a energia de entrada ( W1 = e1 cdot Q1 ). Ou seja:
Para a primeira máquina, temos:
Isso significa que o trabalho realizado pela primeira máquina é:

Passo 3

Agora, a energia que sai da primeira máquina e vai para a segunda é a energia de exaustão da primeira máquina, que é a energia de entrada da segunda máquina. A energia de exaustão Qex1 = Q1 - W1 da primeira máquina é:
Qex1 = Q1 - e1 cdot Q1 = Q1 (1 - e1)
Substituindo Q2 = Qex1 = Q1 (1 - e1) pela expressão anterior:
Essa é a energia que a segunda máquina vai usar como entrada, então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela segunda máquina ( e2 = W2Q2 implies W2 = e2 cdot Q2 ), usando a eficiência W2 = e2 cdot Q1 (1 - e1) :
Substituindo :

Passo 5

O trabalho total realizado pelo sistema é a soma dos trabalhos das duas máquinas:
Wtotal = W1 + W2 = e1 cdot Q1 + e2 cdot Q1 (1 - e1)
Fatorando Wtotal = Q1 (e1 + e2 - e1 e2) :

Passo 6

A eficiência total e = WtotalQ1 = Q1 (e1 + e2 - e1 e2)Q1 = e1 + e2 - e1 e2 do sistema é o trabalho total dividido pela energia de entrada na primeira máquina:

Resposta

A eficiência total do dispositivo é .

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