Suponha que você construa um aparelho com duas máquinas térmicas, no qual a energia de exaustão de de uma delas é a energia de entrada para a segunda máquina térmica. Isto significa que as duas máquinas estão funcionando em série. Seja,
e
as eficiências das máquinas.
a) A eficiência total do dispositivo é definida como o trabalho total de saída dividido pela energia colocada na primeira máquina por calor. Mostre que a eficiência total é dado por:
a) A eficiência total do dispositivo é definida como o trabalho total de saída dividido pela energia colocada na primeira máquina por calor. Mostre que a eficiência total é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas máquinas térmicas que estão trabalhando uma depois da outra, ou seja, a energia que sai da primeira máquina entra na segunda. A eficiência de cada máquina é dada por
e
. O que a gente precisa encontrar é a eficiência total do sistema, que é o trabalho total que a gente consegue dividir pela energia que colocamos na primeira máquina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eficiência e como elas se combinam quando as máquinas estão em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a eficiência
de uma máquina térmica é definida como a razão entre o trabalho realizado (
) e a energia de entrada (
). Ou seja:
Para a primeira máquina, temos:
Isso significa que o trabalho realizado pela primeira máquina é:
Passo 3
Agora, a energia que sai da primeira máquina e vai para a segunda é a energia de exaustão da primeira máquina, que é a energia de entrada da segunda máquina. A energia de exaustão
da primeira máquina é:
Substituindo
pela expressão anterior:
Essa
é a energia que a segunda máquina vai usar como entrada, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela segunda máquina (
), usando a eficiência
:
Substituindo
:
Passo 5
O trabalho total realizado pelo sistema é a soma dos trabalhos das duas máquinas:
Fatorando
:
Passo 6
A eficiência total
do sistema é o trabalho total dividido pela energia de entrada na primeira máquina:
Resposta
A eficiência total do dispositivo é
.