Uma partícula move-se ao longo de um caminho e sua velocidade aumenta com o tempo.
(i) Em qual dos seguintes casos seus vetores aceleração e velocidade são paralelos?
(a) quando a trajetória é circular.
(b) quando a trajetória é reta.
(c) quando a trajetória é uma parábola.
(d) nunca.
(ii) Com base nas mesmas alternativas, em que casos seus vetores aceleração e velocidade são perpendiculares em todos os lugares ao longo da trajetória?

Passo 1

O enunciado diz: uma partícula move-se ao longo de um caminho e sua velocidade (o módulo da velocidade) aumenta com o tempo. Ou seja, \dfrac{d}{dt}|\vec v|>0 (estou assumindo v=|\vec v| e \dfrac{dv}{dt}>0). Perguntas:
(i) Em qual dos casos abaixo os vetores aceleração e velocidade são paralelos?
(a) trajetória circular.
(b) trajetória reta.
(c) trajetória em forma de parábola.
(d) nunca.
(ii) Com base nas mesmas alternativas, em que casos os vetores aceleração e velocidade são perpendiculares em todos os pontos da trajetória?
Informações relevantes dadas:
  • O módulo da velocidade cresce com o tempo: \dfrac{dv}{dt}>0.
  • Temos quatro tipos de trajetória a escolher: circular, reta, parábola, ou nenhum dos anteriores.
  • “Paralelos” significa que \vec a é um múltiplo escalar de \vec v; “perpendiculares” significa \vec a\cdot\vec v=0 em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que são os vetores velocidade e aceleração, e suas direções em relação à trajetória.
Definições e conceitos básicos (devagar e com exemplo):
  • A velocidade vetorial é \vec v = \dfrac{d\vec r}{dt}. Em qualquer ponto ela é tangente à trajetória. Podemos escrever \vec v = v\,\hat t, onde v=|\vec v| é o módulo (velocidade escalar) e \hat t é o versor tangente (vetor unitário na direção da velocidade).
  • A aceleração é \vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}. Como \vec v=v\hat t, ao derivar aparecem duas partes: a variação do módulo v e a variação da direção \hat t. Isso nos leva à decomposição em componentes tangencial e normal, que é central aqui.
Exemplo rápido para ficar confortável: se a partícula vai mais rápido com o tempo, \dfrac{dv}{dt}>0 — isso contribui para um componente de aceleração na direção tangente. Se a trajetória curva, há também uma contribuição normal (para dentro da curva) mesmo que v seja constante.

Passo 3

Derivando \vec v = v\,\hat t para achar \vec a passo a passo:
Começo pela derivada:
\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(v\,\hat t\bigr) = \frac{dv}{dt}\,\hat t + v\,\frac{d\hat t}{dt}.
Agora explico \dfrac{d\hat t}{dt}. A taxa de variação do versor tangente mede o quanto a direção muda; ela é dirigida para a normal da curva \hat n e tem magnitude dada por \kappa v, em que \kappa é a curvatura da trajetória local. Ou seja,
\frac{d\hat t}{dt} = \kappa v\,\hat n.
Como \kappa = 1/\rho (sendo \rho o raio de curvatura), podemos escrever
\frac{d\hat t}{dt} = \frac{v}{\rho}\,\hat n.
Substituindo:
\vec a = \frac{dv}{dt}\,\hat t + v\left(\frac{v}{\rho}\,\hat n\right) = \frac{dv}{dt}\,\hat t + \frac{v^{2}}{\rho}\,\hat n.
Interpretação das quantidades:
  • \dfrac{dv}{dt}\,\hat t é o componente tangencial da aceleração (alinhado com \vec v).
  • \dfrac{v^{2}}{\rho}\,\hat n é o componente normal (perpendicular à velocidade), responsável por “virar” o vetor velocidade quando a trajetória curva.

Passo 4

Quando \vec a e \vec v são paralelos?
Do que acabamos de obter, \vec a é a soma de uma parte tangencial (paralela a \vec v) e de uma parte normal (perpendicular a \vec v). Para que \vec a seja totalmente paralelo a \vec v é necessário que a componente normal seja zero. Portanto a condição é:
\frac{v^{2}}{\rho}=0.
Como v>0 (o enunciado diz que a velocidade aumenta, logo não é zero), a única possibilidade é \rho=\infty, ou seja, curvatura \kappa=0. Geometricamente, isso significa trajetória retilínea (reta): só numa reta não há componente normal.
Conclusão deste passo: com velocidade aumentando ( \dfrac{dv}{dt}>0), a aceleração será paralela à velocidade quando a trajetória for reta. Das alternativas dadas, isso corresponde à opção (b).
Observação rápida: em trajetórias curvas (círculo, parábola) a curvatura é diferente de zero, logo existe sempre uma componente normal \dfrac{v^{2}}{\rho} não nula, e a aceleração resultante não fica paralela à velocidade.

Passo 5

Quando \vec a e \vec v são perpendiculares em todos os pontos?
Para que \vec a seja perpendicular a \vec v em um ponto, o componente tangencial deve ser zero:
\frac{dv}{dt}=0.
Isso significa que a velocidade escalar v é constante no tempo (não aumenta nem diminui). Porém o enunciado afirma que a velocidade aumenta com o tempo ( \dfrac{dv}{dt}>0). Logo não é possível ter \dfrac{dv}{dt}=0. Portanto não há nenhuma das trajetórias dadas em que a aceleração seja perpendicular à velocidade em todos os pontos, porque a condição necessária contradiz o fato de que a velocidade aumenta.
Comentário sobre casos conhecidos: em movimento circular uniforme (velocidade escalar constante) a aceleração é puramente normal e, portanto, perpendicular à velocidade. Mas esse caso tem \dfrac{dv}{dt}=0 (velocidade não aumenta) — o que contradiz o enunciado. Assim a opção (a) não é válida aqui por causa da hipótese de aumento da velocidade.

Passo 6

Resumo e resposta final (curto e direto). Você está indo bem — manter esse tipo de raciocínio (decompor em tangencial e normal) resolve muitos problemas de cinemática de curvas. Lembre-se: novidade do dia — aceleração = tangencial + normal:
\vec a = \frac{dv}{dt}\,\hat t + \frac{v^{2}}{\rho}\,\hat n,
e daí deduzimos direto as respostas.

Resposta

(i) (b)
(ii) (d)

Exercícios relacionados