Uma partícula move-se ao longo de um caminho e sua velocidade aumenta com o tempo.
(i) Em qual dos seguintes casos seus vetores aceleração e velocidade são paralelos?
(a) quando a trajetória é circular.
(b) quando a trajetória é reta.
(c) quando a trajetória é uma parábola.
(d) nunca.
(ii) Com base nas mesmas alternativas, em que casos seus vetores aceleração e velocidade são perpendiculares em todos os lugares ao longo da trajetória?
(i) Em qual dos seguintes casos seus vetores aceleração e velocidade são paralelos?
(a) quando a trajetória é circular.
(b) quando a trajetória é reta.
(c) quando a trajetória é uma parábola.
(d) nunca.
(ii) Com base nas mesmas alternativas, em que casos seus vetores aceleração e velocidade são perpendiculares em todos os lugares ao longo da trajetória?
Passo 1
O enunciado diz: uma partícula move-se ao longo de um caminho e sua velocidade (o módulo da velocidade) aumenta com o tempo. Ou seja,
(estou assumindo
e
). Perguntas:
(i) Em qual dos casos abaixo os vetores aceleração e velocidade são paralelos?
(a) trajetória circular.
(b) trajetória reta.
(c) trajetória em forma de parábola.
(d) nunca.
(a) trajetória circular.
(b) trajetória reta.
(c) trajetória em forma de parábola.
(d) nunca.
(ii) Com base nas mesmas alternativas, em que casos os vetores aceleração e velocidade são perpendiculares em todos os pontos da trajetória?
Informações relevantes dadas:
- O módulo da velocidade cresce com o tempo:
. - Temos quatro tipos de trajetória a escolher: circular, reta, parábola, ou nenhum dos anteriores.
- “Paralelos” significa que
é um múltiplo escalar de ; “perpendiculares” significa em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que são os vetores velocidade e aceleração, e suas direções em relação à trajetória.
Definições e conceitos básicos (devagar e com exemplo):
- A velocidade vetorial é
. Em qualquer ponto ela é tangente à trajetória. Podemos escrever , onde é o módulo (velocidade escalar) e é o versor tangente (vetor unitário na direção da velocidade). - A aceleração é
. Como , ao derivar aparecem duas partes: a variação do módulo e a variação da direção . Isso nos leva à decomposição em componentes tangencial e normal, que é central aqui.
Exemplo rápido para ficar confortável: se a partícula vai mais rápido com o tempo,
— isso contribui para um componente de aceleração na direção tangente. Se a trajetória curva, há também uma contribuição normal (para dentro da curva) mesmo que
seja constante.
Passo 3
Derivando
para achar
passo a passo:
Começo pela derivada:
Agora explico
. A taxa de variação do versor tangente mede o quanto a direção muda; ela é dirigida para a normal da curva
e tem magnitude dada por
, em que
é a curvatura da trajetória local. Ou seja,
Como
(sendo
o raio de curvatura), podemos escrever
Substituindo:
Interpretação das quantidades:
-
é o componente tangencial da aceleração (alinhado com ). -
é o componente normal (perpendicular à velocidade), responsável por “virar” o vetor velocidade quando a trajetória curva.
Passo 4
Quando
e
são paralelos?
Do que acabamos de obter,
é a soma de uma parte tangencial (paralela a
) e de uma parte normal (perpendicular a
). Para que
seja totalmente paralelo a
é necessário que a componente normal seja zero. Portanto a condição é:
Como
(o enunciado diz que a velocidade aumenta, logo não é zero), a única possibilidade é
, ou seja, curvatura
. Geometricamente, isso significa trajetória retilínea (reta): só numa reta não há componente normal.
Conclusão deste passo: com velocidade aumentando (
), a aceleração será paralela à velocidade quando a trajetória for reta. Das alternativas dadas, isso corresponde à opção (b).
Observação rápida: em trajetórias curvas (círculo, parábola) a curvatura é diferente de zero, logo existe sempre uma componente normal
não nula, e a aceleração resultante não fica paralela à velocidade.
Passo 5
Quando
e
são perpendiculares em todos os pontos?
Para que
seja perpendicular a
em um ponto, o componente tangencial deve ser zero:
Isso significa que a velocidade escalar
é constante no tempo (não aumenta nem diminui). Porém o enunciado afirma que a velocidade aumenta com o tempo (
). Logo não é possível ter
. Portanto não há nenhuma das trajetórias dadas em que a aceleração seja perpendicular à velocidade em todos os pontos, porque a condição necessária contradiz o fato de que a velocidade aumenta.
Comentário sobre casos conhecidos: em movimento circular uniforme (velocidade escalar constante) a aceleração é puramente normal e, portanto, perpendicular à velocidade. Mas esse caso tem
(velocidade não aumenta) — o que contradiz o enunciado. Assim a opção (a) não é válida aqui por causa da hipótese de aumento da velocidade.
Passo 6
Resumo e resposta final (curto e direto). Você está indo bem — manter esse tipo de raciocínio (decompor em tangencial e normal) resolve muitos problemas de cinemática de curvas. Lembre-se: novidade do dia — aceleração = tangencial + normal:
e daí deduzimos direto as respostas.
Resposta
(i) (b)
(ii) (d)