Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à trajetória de uma partícula no ponto . A curva da partícula é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar para qual valor de a posição da partícula é igual a . Isso significa resolver o sistema de equações:
Sabemos que cos t = 0 quando t = pi2 + kpi e sin t = 1 quando t = pi2 + 2kpi (onde k é um inteiro). Além disso, 2t = pi implica que t = pi2. Portanto, o valor de t que satisfaz todas as três equações é t = pi2.
Passo 3
Agora que sabemos que t = pi2, precisamos encontrar a derivada da função sigma(t) em relação a t, que nos dará a velocidade da partícula nesse ponto. A derivada sigma'(t) é:
Com o ponto (0, 1, pi) e o vetor diretor (-1, 0, 2), podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral da equação de uma reta no espaço é:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é o ponto de passando pela reta e (a, b, c) é o vetor diretor.
Passo 5
Aplicando os valores que temos:
x = 0 - t y = 1 + 0 cdot t z = pi + 2t
Simplificando:
x = -t y = 1 z = pi + 2t
Resposta
A equação paramétrica da reta tangente à trajetória no ponto (0, 1, pi) é: