Uma partícula se move ao longo da curva dada por
1 / 2
sigma(t)=(cos t, sin t, 2 t)
Dê uma equação da reta tangente à trajetória em (0,1, pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à trajetória de uma partícula no ponto (0, 1, pi). A curva da partícula é dada por sigma(t) = (cos t, sin t, 2t). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar para qual valor de t a posição da partícula sigma(t) é igual a (0, 1, pi). Isso significa resolver o sistema de equações:
cos t = 0 sin t = 1 2t = pi
Sabemos que cos t = 0 quando t = pi2 + kpi e sin t = 1 quando t = pi2 + 2kpi (onde k é um inteiro). Além disso, 2t = pi implica que t = pi2. Portanto, o valor de t que satisfaz todas as três equações é t = pi2.

Passo 3

Agora que sabemos que t = pi2, precisamos encontrar a derivada da função sigma(t) em relação a t, que nos dará a velocidade da partícula nesse ponto. A derivada sigma'(t) é:
sigma'(t) = ( -sin t, cos t, 2 )
Vamos calcular sigma'(pi2):
sigma'(pi2) = ( -sin(pi2), cos(pi2), 2 ) = (-1, 0, 2)

Passo 4

Com o ponto (0, 1, pi) e o vetor diretor (-1, 0, 2), podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral da equação de uma reta no espaço é:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é o ponto de passando pela reta e (a, b, c) é o vetor diretor.

Passo 5

Aplicando os valores que temos:
x = 0 - t y = 1 + 0 cdot t z = pi + 2t
Simplificando:
x = -t y = 1 z = pi + 2t

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente à trajetória no ponto (0, 1, pi) é:
x = -t y = 1 z = pi + 2t

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