Calcule o trabalho exercido pelo campo de forças
ao deslocar uma partícula pela circunferência determinada por
, orientada no sentido horário.
Dica: Utilize um teorema.
Dica: Utilize um teorema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o trabalho feito por um campo de forças
quando uma partícula se move ao longo de uma circunferência definida por
, no sentido horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho em um campo de forças. O trabalho
é dado pela integral de linha da força
ao longo do caminho
, ou seja:
Mas calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar o Teorema de Green.
Passo 3
O Teorema de Green diz que podemos converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada pela curva
:
Aqui,
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo no Teorema de Green:
A integral dupla
é simplesmente a área da região
.
Passo 5
A região
é uma circunferência de raio 2 (já que
), então a área é:
Portanto:
Lembre-se que o sinal negativo indica que o trabalho foi realizado no sentido horário, que é o sentido negativo por convenção.
Resposta
O trabalho exercido pelo campo de forças é
.