Calcule o trabalho exercido pelo campo de forças
F(x, y)=(e^x sin y, e^x cos y-2 x)
ao deslocar uma partícula pela circunferência determinada por (x-1)^2+y^2=4, orientada no sentido horário.
Dica: Utilize um teorema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o trabalho feito por um campo de forças F(x, y) = (e^x sin y, e^x cos y - 2x) quando uma partícula se move ao longo de uma circunferência definida por (x-1)^2 + y^2 = 4, no sentido horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho em um campo de forças. O trabalho W é dado pela integral de linha da força F ao longo do caminho C, ou seja:
W = ointC F cdot dr
Mas calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar o Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green diz que podemos converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada pela curva C:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, F = (P, Q). No nosso caso, P = e^x sin y e Q = e^x cos y - 2x.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( e^x cos y - 2x ) = e^x cos y - 2
partial Ppartial y = partialpartial y ( e^x sin y ) = e^x cos y
Agora, substituindo no Teorema de Green:
integral duplaD ( e^x cos y - 2 - e^x cos y ) dA = integral duplaD (-2) , dA = -2 integral duplaD dA
A integral dupla integral duplaD dA é simplesmente a área da região D.

Passo 5

A região D é uma circunferência de raio 2 (já que (x-1)^2 + y^2 = 4), então a área é:
Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi Á
Portanto:
W = -2 times 4pi = -8pi
Lembre-se que o sinal negativo indica que o trabalho foi realizado no sentido horário, que é o sentido negativo por convenção.

Resposta

O trabalho exercido pelo campo de forças é -8pi.

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