Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 2}\left(3 \operatorname{sen}^{2} t \cos t \mathbf{i}+3 \operatorname{sen} t \cos ^{2} t \mathbf{j}+2 \operatorname{sen} t \cos t \mathbf{k}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral vetorial
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(3\sin^{2}t\cos t\,\mathbf{i}+3\sin t\cos^{2}t\,\mathbf{j}+2\sin t\cos t\,\mathbf{k}\bigr)\,dt.
Como é um integral vetorial, vamos integrar cada componente separadamente, usando substituições adequadas.

Passo 2

Integramos a componente em \mathbf{i}:
\int_{0}^{\pi/2}3\sin^{2}t\cos t\,dt.
Fazendo u=\sin t, du=\cos t\,dt, obtemos
3\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos t\,dt =3\int_{u(0)=0}^{u(\pi/2)=1}u^{2}\,du =3\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\bigl[\sin^{3}t\bigr]_{0}^{\pi/2} =1-0 =1.

Passo 3

Integramos a componente em \mathbf{j}:
\int_{0}^{\pi/2}3\sin t\cos^{2}t\,dt.
Fazendo v=\cos t, dv=-\sin t\,dt, obtemos
3\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos^{2}t\,dt =-3\int_{v(0)=1}^{v(\pi/2)=0}v^{2}\,dv =-3\left[\frac{v^{3}}{3}\right]_{1}^{0} =-\bigl[0-1\bigr] =1.

Passo 4

Integramos a componente em \mathbf{k}:
\int_{0}^{\pi/2}2\sin t\cos t\,dt.
Observando que 2\sin t\cos t=\sin(2t), temos
\int_{0}^{\pi/2}2\sin t\cos t\,dt =\int_{0}^{\pi/2}\sin(2t)\,dt =\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{\pi/2} =-\tfrac{1}{2}\bigl(\cos\pi-\cos0\bigr) =-\tfrac{1}{2}(-1-1) =1.

Passo 5

Juntando os resultados das três componentes, a integral vetorial é
1\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

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