No mesmo instante, dois automóveis A e B , partem do repouso de uma linha de largada. O primeiro possui uma aceleração constante a_{A}=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, enquanto o segundo possui uma aceleração a_{B}=\left(2 t^{3 / 2}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde t é medido em segundos. Determine a distância entre os automóveis quando A alcança uma velocidade de 12 km/h.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância entre os automóveis A e B no instante em que o automóvel A alcança a velocidade de 12 km/h. Informações dadas:
  • Ambos partem do repouso da mesma linha de largada (ou seja, posições iniciais iguais e velocidades iniciais nulas).
  • Aceleração de A: a_{A}=8\\ \mathrm{m/s^{2}} (constante).
  • Aceleração de B: a_{B}(t)=2\,t^{3/2}\\ \mathrm{m/s^{2}}, com t em segundos.
  • Velocidade alvo de A: 12\\ \mathrm{km/h}.
O que precisamos encontrar: a distância entre A e B no instante t em que A tem velocidade 12\\ \mathrm{km/h}. Não vamos assumir nada além do enunciado.

Passo 2

Primeiro converto a velocidade pedida para unidades do SI (m/s), porque as acelerações estão em \mathrm{m/s^{2}}. Regra: 1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}. Então
\text{velocidade desejada} = 12\\ \mathrm{km/h} = 12\cdot\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}=\dfrac{10}{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Com aceleração constante de A, a relação entre velocidade e tempo (partindo do repouso) é
v_A(t)=a_{A}\,t.
Queremos o tempo t^* tal que v_A(t^*)=\dfrac{10}{3}\\ \mathrm{m/s}. Assim
t^*=\dfrac{v_A(t^*)}{a_{A}}=\dfrac{\tfrac{10}{3}}{8}=\dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12}\\ \mathrm{s}.
Portanto o instante procurado é t^*=\dfrac{5}{12}\\ \mathrm{s} (aproximadamente 0{,}4167\\ \mathrm{s}).

Passo 4

Agora calculo a posição de A no tempo t^*. Para movimento com aceleração constante a partir do repouso,
s_A(t)=\tfrac{1}{2}a_{A}t^{2}.
Substituindo a_{A}=8 e t=t^*=\dfrac{5}{12}:
s_A\!\left(\tfrac{5}{12}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot\left(\dfrac{5}{12}\right)^{2}=4\cdot\left(\dfrac{25}{144}\right)=\dfrac{100}{144}=\dfrac{25}{36}\\ \mathrm{m}.
Em valor decimal isso é s_A\approx 0{,}694444\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Para B precisamos integrar a aceleração dependente do tempo para obter primeiro a velocidade e depois a posição. Lembrando a regra de integração de potências: \displaystyle\int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aceleração de B: a_B(t)=2\,t^{3/2}=2\,t^{\tfrac{3}{2}}. Integrando desde 0 (partida do repouso) para obter v_B(t):
v_B(t)=\int_0^{t} 2\,\tau^{3/2}\,d\tau =2\cdot\frac{\tau^{5/2}}{5/2}\Big|_{0}^{t} =2\cdot\frac{2}{5}\,t^{5/2} =\frac{4}{5}\,t^{5/2}.
Explicação rápida: elevou-se o expoente em 1 (de 3/2 para 5/2) e dividiu-se pelo novo expoente 5/2.

Passo 6

Agora integramos v_B(t) para obter a posição s_B(t) (partindo de s_B(0)=0):
s_B(t)=\int_0^{t} v_B(\tau)\,d\tau=\int_0^{t}\frac{4}{5}\,\tau^{5/2}\,d\tau =\frac{4}{5}\cdot\frac{\tau^{7/2}}{7/2}\Big|_{0}^{t} =\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{7}\,t^{7/2} =\frac{8}{35}\,t^{7/2}.
Resumo: s_B(t)=\dfrac{8}{35}\,t^{7/2}.

Passo 7

Calculo s_B no tempo t^*=\dfrac{5}{12}. Primeiro escrevo a expressão exata e depois avalio numericamente:
s_B\!\left(\tfrac{5}{12}\right)=\frac{8}{35}\left(\frac{5}{12}\right)^{7/2}.
Agora avalio numericamente. Um caminho prático é separar potências: \left(\dfrac{5}{12}\right)^{7/2}=\left(\dfrac{5}{12}\right)^{3}\sqrt{\dfrac{5}{12}}.
  • \left(\dfrac{5}{12}\right)^{3}=\dfrac{125}{1728}\approx 0{,}072337963.
  • \sqrt{\dfrac{5}{12}}=\sqrt{0{,}416\overline{6}}\approx 0{,}645497224.
    Multiplicando:
\left(\frac{5}{12}\right)^{7/2}\approx 0{,}072337963\cdot 0{,}645497224\approx 0{,}04669316.
Finalmente
s_B\!\left(\tfrac{5}{12}\right)\approx \frac{8}{35}\cdot 0{,}04669316\approx 0{,}01067272\\ \mathrm{m}.

Passo 8

A distância entre os automóveis no instante t^* é a diferença das posições (A está à frente porque acelera mais):
\Delta s = s_A\!\left(\tfrac{5}{12}\right)-s_B\!\left(\tfrac{5}{12}\right) =\dfrac{25}{36}-\dfrac{8}{35}\left(\dfrac{5}{12}\right)^{7/2}.
Avaliação numérica:
\Delta s \approx 0{,}69444444 - 0{,}01067272 \approx 0{,}68377172\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (três casas significativas), obtemos \Delta s\approx 0{,}684\\ \mathrm{m}.

Resposta

\dfrac{25}{36}-\dfrac{8}{35}\left(\dfrac{5}{12}\right)^{7/2}\\ \mathrm{m}\approx 0,684\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados