No mesmo instante, dois automóveis A e B , partem do repouso de uma linha de largada. O primeiro possui uma aceleração constante a_{A}=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, enquanto o segundo possui uma aceleração a_{B}=\left(2 t^{3 / 2}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde t é medido em segundos. Determine a distância entre os automóveis quando A alcança uma velocidade de 12 km/h.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distância entre os automóveis A e B no instante em que o automóvel A alcança a velocidade de 12 km/h. Informações dadas:
Ambos partem do repouso da mesma linha de largada (ou seja, posições iniciais iguais e velocidades iniciais nulas).
Aceleração de A: a_{A}=8\\ \mathrm{m/s^{2}} (constante).
Aceleração de B: a_{B}(t)=2\,t^{3/2}\\ \mathrm{m/s^{2}}, com t em segundos.
Velocidade alvo de A: 12\\ \mathrm{km/h}.
O que precisamos encontrar: a distância entre A e B no instante t em que A tem velocidade 12\\ \mathrm{km/h}. Não vamos assumir nada além do enunciado.
Passo 2
Primeiro converto a velocidade pedida para unidades do SI (m/s), porque as acelerações estão em \mathrm{m/s^{2}}. Regra: 1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}. Então
Em valor decimal isso é s_A\approx 0{,}694444\\ \mathrm{m}.
Passo 5
Para B precisamos integrar a aceleração dependente do tempo para obter primeiro a velocidade e depois a posição. Lembrando a regra de integração de potências: \displaystyle\int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aceleração de B: a_B(t)=2\,t^{3/2}=2\,t^{\tfrac{3}{2}}. Integrando desde 0 (partida do repouso) para obter v_B(t):
Agora avalio numericamente. Um caminho prático é separar potências: \left(\dfrac{5}{12}\right)^{7/2}=\left(\dfrac{5}{12}\right)^{3}\sqrt{\dfrac{5}{12}}.