. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação de movimento, \mathrm{s}=5-4 \cos ^{2} \mathrm{t}, onde s metros é a distância orientada da partícula desde a origem em t segundos. Se v (\mathrm{m} / \mathrm{s}) e a \left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right) são, respectivamente, a velocidade e a aceleração da partícula, encontre v e a. Lembre-se: \mathrm{v}=\mathrm{ds} / \mathrm{dt} e \mathrm{a}=\mathrm{dv} / \mathrm{dt}.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula
s(t)=5-4\cos^2t
e pede a velocidade
v=\frac{ds}{dt}
e a aceleração
a=\frac{dv}{dt}.
Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de \cos^2t.

Passo 2

Cálculo de v:
v=\frac{ds}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(5-4\cos^2t\bigr) =-4\cdot\frac{d}{dt}(\cos^2t).
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}(\cos^2t) =2\cos t\cdot(-\sin t) =-2\cos t\,\sin t.
Portanto,
v=-4\cdot(-2\cos t\,\sin t) =8\cos t\,\sin t =4\sin2t.

Passo 3

Cálculo de a:
a=\frac{dv}{dt} =\frac{d}{dt}(4\sin2t) =4\cdot\frac{d}{dt}(\sin2t).
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}(\sin2t) =\cos2t\cdot2 =2\cos2t.
Logo,
a=4\cdot2\cos2t =8\cos2t.

Resposta

v(t)=4\sin2t,\quad a(t)=8\cos2t.

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