Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado:
Obs.: y-y_{p}=g^{\prime}\left(x_{p}\right) .\left(x-x_{p}\right) é a equação da reta tangente à curva y=g(x) no ponto ( x_{p}, y_{p} )
y=x^{2}+2 x+1, P(1,4)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y = x^{2} + 2x + 1 no ponto P(1,4). Vamos usar a fórmula da reta tangente
y - y_{p} = g'(x_{p})\,(x - x_{p})
onde g(x)=x^{2}+2x+1 e (x_{p},y_{p})=(1,4).

Passo 2

Calcular a derivada de g(x). Como
g(x)=x^{2}+2x+1,
temos
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(1) =2x+2+0 =2x+2.

Passo 3

Avaliar a derivada em x_{p}=1:
g'(1)=2\cdot1+2=4.

Passo 4

Substituir na fórmula da reta tangente:
y - 4 = 4\,(x-1).
Desenvolvendo,
y - 4 = 4x - 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 4x.

Resposta

y = 4x

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