. A derivada da função deslocamento é a função velocidade. A derivada da função velocidade é a função aceleração. Encontre as funções velocidade e aceleração para função deslocamento (sendo b e k constantes)
f(x)=\operatorname{sen}(k x)+\frac{1}{\sqrt{b x}}

Passo 1

O enunciado dá a função de deslocamento
f(x)=\operatorname{sen}(kx)+\frac{1}{\sqrt{b\,x}},
com b e k constantes, e pede a função velocidade v(x)=f'(x) e a função aceleração a(x)=v'(x)=f''(x). Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra de potência.

Passo 2

Reescrevemos o segundo termo como
\frac{1}{\sqrt{b\,x}} = b^{-\tfrac12}x^{-\tfrac12}.
Aplicando a derivada em cada parcela:
  1. \dfrac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(kx)\bigr] = k\cos(kx) (regra da cadeia).
  2. \dfrac{d}{dx}\bigl[b^{-\tfrac12}x^{-\tfrac12}\bigr] = b^{-\tfrac12}\bigl(-\tfrac12\bigr)x^{-\tfrac32} = -\dfrac{1}{2\sqrt{b}\,x^{3/2}}.
Logo,
v(x)=f'(x)=k\cos(kx)\;-\;\frac{1}{2\sqrt{b}\,x^{3/2}}.

Passo 3

Agora derivamos v(x) para obter a(x)=v'(x):
  1. \dfrac{d}{dx}[\,k\cos(kx)\,] = -k^2\sin(kx).
  2. \dfrac{d}{dx}\Bigl[-\tfrac{1}{2\sqrt{b}}\,x^{-\tfrac32}\Bigr] = -\frac{1}{2\sqrt{b}}\bigl(-\tfrac32\bigr)x^{-\tfrac52} = \frac{3}{4\sqrt{b}\,x^{5/2}}.
Portanto,
a(x)=f''(x)=-k^2\sin(kx)+\frac{3}{4\sqrt{b}\,x^{5/2}}.

Resposta

v(x)=k\cos(kx)-\dfrac{1}{2\sqrt{b}\,x^{3/2}}
a(x)=-k^2\sin(kx)+\dfrac{3}{4\sqrt{b}\,x^{5/2}}

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