Uma partícula se move ao longo de uma trajetória e o módulo da sua velocidade permanece constante. Em qual dos casos a seguir seus vetores de aceleração e velocidade são
perpendiculares em toda a trajetória?
paralelos em toda a trajetória?
quando a trajetória é circular
quando a trajetória é reta
quando a trajetória é uma parábola
perpendiculares em toda a trajetória?
paralelos em toda a trajetória?
quando a trajetória é circular
quando a trajetória é reta
quando a trajetória é uma parábola
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula se move ao longo de uma trajetória e que o módulo da sua velocidade permanece constante durante o movimento. Pergunta-se, para cada uma das trajetórias abaixo, se os vetores aceleração e velocidade são:
- perpendiculares em toda a trajetória?
- paralelos em toda a trajetória?
As trajetórias listadas são:
- quando a trajetória é circular;
- quando a trajetória é reta;
- quando a trajetória é uma parábola.
Informações fornecidas e o que precisamos responder:
- Dado: o módulo da velocidade, isto é
, é constante. - Devemos decidir, para cada tipo de curva, se
é sempre perpendicular a ao longo de toda a trajetória e se é sempre paralela a ao longo de toda a trajetória. - Não há outros dados numéricos ou parametrizações explícitas — a análise deve usar apenas o fato de que a velocidade tem módulo constante.
Passo 2
Definições e notação (para não nos perder):
- A velocidade vetorial da partícula é
. Isso é um vetor cujo módulo é a velocidade escalar. - A aceleração é
. É o vetor derivada da velocidade em relação ao tempo. - O módulo (ou norma) de
é . O enunciado afirma que é constante em .
Vou usar a propriedade básica de derivadas de produto escalar para relacionar
e
.
Passo 3
Derivação rigorosa do resultado chave (aula curta, passo a passo):
- Começamos do quadrado do módulo da velocidade, que é uma quantidade bem conveniente:
- Derivando em relação ao tempo, usando regra do produto para produto escalar:
- Pelo enunciado,
é constante, então é constante e sua derivada é zero. Assim
- Portanto
Comentário didático: o produto escalar zero entre dois vetores significa que eles são ortogonais (perpendiculares). Então o resultado mostra que, sempre que o módulo da velocidade é constante, o vetor aceleração é ortogonal ao vetor velocidade.
Passo 4
Interpretação física e geométrica (como usar isso na prova):
- O vetor aceleração pode ser decomposto em duas partes (componentes) em relação à direção da velocidade: componente tangencial (paralela a
) e componente normal (perpendicular a ):
onde
é o versor tangente (na direção de
) e
é o versor normal. A componente tangencial
é exatamente a taxa de variação do módulo da velocidade:
- Como
é constante, temos . Logo a aceleração não tem componente tangencial e é puramente normal, isto é, perpendicular à velocidade ao longo de toda a trajetória. - Conclusão geral que já posso usar em prova: se
é constante então sempre teremos (a aceleração é ortogonal à velocidade).
Passo 5
Aplicação aos casos pedidos — caso 1: trajetória circular
- Movimento circular uniforme (módulo da velocidade constante) é o exemplo clássico: a aceleração é centrípeta, de módulo
(onde é o raio da curva), e aponta para o centro da circunferência, sempre perpendicular à velocidade instantânea. - Portanto, quando a trajetória é circular e o módulo da velocidade é constante,
e são perpendiculares em toda a trajetória. Eles não são paralelos (a componente tangencial é zero).
Passo 6
Aplicação aos casos pedidos — caso 2: trajetória reta
- Se a trajetória for reta e o módulo da velocidade é constante, então não há variação nem do módulo nem da direção da velocidade: a velocidade é constante como vetor. Assim a aceleração é
para todo
.
- O vetor nulo tem produto escalar zero com qualquer vetor, isto é
, então é ortogonal a no sentido matemático. Em termos físicos: não há aceleração tangencial nem normal. - Sobre ser paralelo: algebraicamente o vetor nulo pode ser escrito como
, então é um múltiplo escalar de — tecnicamente isso faz com que o vetor nulo seja, ao mesmo tempo, colinear com qualquer vetor. Mas em física costuma-se desprezar essa “paralela” trivial porque não representa uma componente tangencial ativa (não altera a velocidade). Na resposta final vou tratar o caso do vetor nulo como caso trivial e não contar como “paralelo significativo”.
Passo 7
Aplicação aos casos pedidos — caso 3: trajetória em forma de parábola
- Mesmo que a curva seja uma parábola, se a partícula percorre essa curva com velocidade de módulo constante, a componente tangencial da aceleração é nula (
) e toda a aceleração é normal à trajetória. Isso se segue do argumento geral do Passo 3: . - Portanto, para movimento com
constante ao longo de uma parábola, é perpendicular a em todos os instantes. - (Observação: parametrizar a parábola por arco-índice para manter velocidade constante pode ser trabalhoso, mas a existência dessa parametrização não é necessária para concluir que, se o módulo da velocidade é constante, a aceleração será normal.)
Passo 8
Resumo e observação final sobre “paralelo” versus “perpendicular”
- Resultado sólido e que vale para qualquer curva: se o módulo da velocidade é constante então sempre
, ou seja, em toda a trajetória. Isso vale independentemente de a trajetória ser circular, reta ou uma parábola. - Sobre serem paralelos: para movimento com velocidade de módulo constante nunca há uma componente tangencial não-nula; assim não há aceleração paralela não-trivial a
. O único caso em que é “paralela” a é o caso trivial (movimento retilíneo uniforme), que é uma situação degenerate algebraicamente, não uma aceleração paralela efetiva que muda o módulo da velocidade.
Resposta
Perpendiculares em toda a trajetória: quando a trajetória é circular; quando a trajetória é reta; quando a trajetória é uma parábola.
Paralelos em toda a trajetória: nenhum dos casos (exceto o caso trivial
, em que a aceleração é nula).