Uma partícula se move ao longo de uma trajetória e o módulo da sua velocidade permanece constante. Em qual dos casos a seguir seus vetores de aceleração e velocidade são
perpendiculares em toda a trajetória?
paralelos em toda a trajetória?
quando a trajetória é circular
quando a trajetória é reta
quando a trajetória é uma parábola

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula se move ao longo de uma trajetória e que o módulo da sua velocidade permanece constante durante o movimento. Pergunta-se, para cada uma das trajetórias abaixo, se os vetores aceleração e velocidade são:
  1. perpendiculares em toda a trajetória?
  2. paralelos em toda a trajetória?
As trajetórias listadas são:
  • quando a trajetória é circular;
  • quando a trajetória é reta;
  • quando a trajetória é uma parábola.
Informações fornecidas e o que precisamos responder:
  • Dado: o módulo da velocidade, isto é |\mathbf{v}(t)|, é constante.
  • Devemos decidir, para cada tipo de curva, se \mathbf{a}(t) é sempre perpendicular a \mathbf{v}(t) ao longo de toda a trajetória e se \mathbf{a}(t) é sempre paralela a \mathbf{v}(t) ao longo de toda a trajetória.
  • Não há outros dados numéricos ou parametrizações explícitas — a análise deve usar apenas o fato de que a velocidade tem módulo constante.

Passo 2

Definições e notação (para não nos perder):
  • A velocidade vetorial da partícula é \mathbf{v}(t). Isso é um vetor cujo módulo é a velocidade escalar.
  • A aceleração é \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}. É o vetor derivada da velocidade em relação ao tempo.
  • O módulo (ou norma) de \mathbf{v} é |\mathbf{v}(t)|. O enunciado afirma que |\mathbf{v}(t)| é constante em t.
Vou usar a propriedade básica de derivadas de produto escalar para relacionar \mathbf{v} e \mathbf{a}.

Passo 3

Derivação rigorosa do resultado chave (aula curta, passo a passo):
  • Começamos do quadrado do módulo da velocidade, que é uma quantidade bem conveniente:
|\mathbf{v}(t)|^2 = \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}(t).
  • Derivando em relação ao tempo, usando regra do produto para produto escalar:
\frac{d}{dt}\big(|\mathbf{v}(t)|^2\big) = \frac{d}{dt}\big(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\big) = 2\,\mathbf{v}(t)\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt} = 2\,\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t).
  • Pelo enunciado, |\mathbf{v}(t)| é constante, então |\mathbf{v}(t)|^2 é constante e sua derivada é zero. Assim
0=\frac{d}{dt}\big(|\mathbf{v}(t)|^2\big)=2\,\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t).
  • Portanto
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=0\quad\text{para todo }t.
Comentário didático: o produto escalar zero entre dois vetores significa que eles são ortogonais (perpendiculares). Então o resultado mostra que, sempre que o módulo da velocidade é constante, o vetor aceleração é ortogonal ao vetor velocidade.

Passo 4

Interpretação física e geométrica (como usar isso na prova):
  • O vetor aceleração pode ser decomposto em duas partes (componentes) em relação à direção da velocidade: componente tangencial (paralela a \mathbf{v}) e componente normal (perpendicular a \mathbf{v}):
\mathbf{a} = a_{\text{t}}\;\hat{\mathbf{t}} + a_{\text{n}}\;\hat{\mathbf{n}},
onde \hat{\mathbf{t}} é o versor tangente (na direção de \mathbf{v}) e \hat{\mathbf{n}} é o versor normal. A componente tangencial a_{\text{t}} é exatamente a taxa de variação do módulo da velocidade:
a_{\text{t}}=\frac{d}{dt}|\mathbf{v}|.
  • Como |\mathbf{v}| é constante, temos a_{\text{t}}=0. Logo a aceleração não tem componente tangencial e é puramente normal, isto é, perpendicular à velocidade ao longo de toda a trajetória.
  • Conclusão geral que já posso usar em prova: se |\mathbf{v}| é constante então sempre teremos \mathbf{v}\perp\mathbf{a} (a aceleração é ortogonal à velocidade).

Passo 5

Aplicação aos casos pedidos — caso 1: trajetória circular
  • Movimento circular uniforme (módulo da velocidade constante) é o exemplo clássico: a aceleração é centrípeta, de módulo |\mathbf{a}|=\dfrac{|\mathbf{v}|^2}{R} (onde R é o raio da curva), e aponta para o centro da circunferência, sempre perpendicular à velocidade instantânea.
  • Portanto, quando a trajetória é circular e o módulo da velocidade é constante, \mathbf{a} e \mathbf{v} são perpendiculares em toda a trajetória. Eles não são paralelos (a componente tangencial é zero).

Passo 6

Aplicação aos casos pedidos — caso 2: trajetória reta
  • Se a trajetória for reta e o módulo da velocidade é constante, então não há variação nem do módulo nem da direção da velocidade: a velocidade é constante como vetor. Assim a aceleração é
\mathbf{a}(t)=\mathbf{0}
para todo t.
  • O vetor nulo tem produto escalar zero com qualquer vetor, isto é \mathbf{v}\cdot\mathbf{0}=0, então \mathbf{a} é ortogonal a \mathbf{v} no sentido matemático. Em termos físicos: não há aceleração tangencial nem normal.
  • Sobre ser paralelo: algebraicamente o vetor nulo pode ser escrito como 0\cdot\mathbf{v}, então é um múltiplo escalar de \mathbf{v} — tecnicamente isso faz com que o vetor nulo seja, ao mesmo tempo, colinear com qualquer vetor. Mas em física costuma-se desprezar essa “paralela” trivial porque não representa uma componente tangencial ativa (não altera a velocidade). Na resposta final vou tratar o caso do vetor nulo como caso trivial e não contar como “paralelo significativo”.

Passo 7

Aplicação aos casos pedidos — caso 3: trajetória em forma de parábola
  • Mesmo que a curva seja uma parábola, se a partícula percorre essa curva com velocidade de módulo constante, a componente tangencial da aceleração é nula ( a_{\text{t}}=0) e toda a aceleração é normal à trajetória. Isso se segue do argumento geral do Passo 3: \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=0.
  • Portanto, para movimento com |\mathbf{v}| constante ao longo de uma parábola, \mathbf{a} é perpendicular a \mathbf{v} em todos os instantes.
  • (Observação: parametrizar a parábola por arco-índice para manter velocidade constante pode ser trabalhoso, mas a existência dessa parametrização não é necessária para concluir que, se o módulo da velocidade é constante, a aceleração será normal.)

Passo 8

Resumo e observação final sobre “paralelo” versus “perpendicular”
  • Resultado sólido e que vale para qualquer curva: se o módulo da velocidade é constante então sempre \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=0, ou seja, \mathbf{a}\perp\mathbf{v} em toda a trajetória. Isso vale independentemente de a trajetória ser circular, reta ou uma parábola.
  • Sobre serem paralelos: para movimento com velocidade de módulo constante nunca há uma componente tangencial não-nula; assim não há aceleração paralela não-trivial a \mathbf{v}. O único caso em que \mathbf{a} é “paralela” a \mathbf{v} é o caso trivial \mathbf{a}=\mathbf{0} (movimento retilíneo uniforme), que é uma situação degenerate algebraicamente, não uma aceleração paralela efetiva que muda o módulo da velocidade.

Resposta

Perpendiculares em toda a trajetória: quando a trajetória é circular; quando a trajetória é reta; quando a trajetória é uma parábola.
Paralelos em toda a trajetória: nenhum dos casos (exceto o caso trivial \mathbf{a}=\mathbf{0}, em que a aceleração é nula).

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