ONDA NA CORDA DE UM VARAL Seu primo Tobias está brincando com a corda do seu varal de roupas. Ele desamarra uma das extremidades da corda, mantém a corda esticada e faz essa extremidade oscilar para cima e para baixo senoidalmente com uma amplitude de 0,075 \mathrm{~m} e uma freqüência igual a 2,0 \mathrm{~Hz}. A velocidade da onda é v=12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No instante t=0 a extremidade possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida na extremidade afastada para perturbar a configuração. a) Ache a amplitude, a freqüência angular, o período, o comprimento de onda e o número de onda desta onda. b) Escreva uma função de onda que descreva a onda. c) Escreva equações para o deslocamento em funçăo do tempo na extremidade da corda que Tobias segura e em um ponto situado a 3,0 \mathrm{~m} dessa extremidade.

Passo 1

O enunciado pede três coisas (a, b e c). Vou listar exatamente o que é pedido e todos os dados fornecidos, para não nos perdermos depois.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Ache a amplitude, a frequência angular, o período, o comprimento de onda e o número de onda.
  • (b) Escreva uma função de onda que descreva a onda.
  • (c) Escreva equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade que Tobias segura e em um ponto situado a 3{,}0\\ \mathrm{m} dessa extremidade.
Dados fornecidos:
  • A amplitude da oscilação da extremidade é 0{,}075\\ \mathrm{m}. (isto foi dado)
  • A frequência é 2{,}0\\ \mathrm{Hz}. (isto foi dado)
  • A velocidade da onda é v = 12{,}0\\ \mathrm{m/s}. (isto foi dado)
  • No instante t=0 a extremidade tem deslocamento positivo máximo e está em repouso. (isto define a fase inicial da oscilação)
  • Suponha que a onda não é refletida na extremidade afastada (onda viajante sem interferência por reflexão).

Passo 2

Vamos lembrar as definições e fórmulas importantes (aulas rápidas, bem mastigadas).
Amplitude:
  • A amplitude A é o deslocamento máximo da corda em relação à posição de equilíbrio. É dada diretamente no enunciado.
Frequência e período:
  • A frequência f (em hertz, Hz) é o número de oscilações por segundo.
  • O período T (em segundos) é o tempo de uma oscilação completa e é dado por
T=\frac{1}{f}.
  • A frequência angular \omega (em rad/s) relaciona-se com a frequência por
\omega = 2\pi f.
Expliquei: 2\pi aparece porque uma oscilação completa corresponde a um ângulo de 2\pi radianos.
Comprimento de onda e número de onda:
  • A velocidade da onda v, a frequência f e o comprimento de onda \lambda satisfazem
v = f\lambda.
Portanto
\lambda=\frac{v}{f}.
  • O número de onda k (em rad/m) é definido por
k = \frac{2\pi}{\lambda}.
Explicação: k indica quantos radianos de fase a onda varia por metro.
Função de onda de uma onda progressiva:
  • Uma forma típica para uma onda harmônica viajando na direção positiva x é
y(x,t) = A\cos\big(kx - \omega t + \varphi\big),
onde \varphi é a fase inicial. Aqui x é a coordenada ao longo da corda (com x=0 na extremidade que Tobias segura), e t é o tempo. Se \varphi for escolhido de modo que em x=0 a condição temporal coincida com o movimento imposto, então a função em x=0 é
y(0,t) = A\cos\big(-\omega t + \varphi\big) = A\cos\big(\omega t - \varphi\big),
usando a paridade do cosseno quando preciso.

Passo 3

Calculemos os valores numéricos pedidos em (a) passo a passo.
Amplitude:
  • Do enunciado: A = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
Frequência angular:
  • Usando \omega = 2\pi f com f=2{,}0\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi \cdot 2{,}0 = 4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser aproximação numérica,
\omega \approx 4\pi \approx 12{,}566\\ \mathrm{rad/s}.
Período:
  • Usando T=1/f:
T = \frac{1}{2{,}0} = 0{,}5\\ \mathrm{s}.
Comprimento de onda:
  • Usando \lambda = v/f com v=12{,}0\\ \mathrm{m/s} e f=2{,}0\\ \mathrm{Hz}:
\lambda = \frac{12{,}0}{2{,}0} = 6{,}0\\ \mathrm{m}.
Número de onda:
  • Usando k = \dfrac{2\pi}{\lambda}:
k = \frac{2\pi}{6{,}0} = \frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}.
Aproximação:
k \approx 1{,}0472\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Justificar a escolha da fase inicial e montar a função de onda (parte b).
Condição inicial: no instante t=0 em x=0 a extremidade tem deslocamento positivo máximo e velocidade vertical zero. Isso caracteriza movimento harmônico simples com deslocamento +A em t=0 e derivada temporal nula.
  • Para um movimento em x=0 do tipo y(0,t)=A\cos(\omega t + \phi_0), em t=0 temos y(0,0)=A\cos(\phi_0). Queremos y(0,0)=+A, então \cos(\phi_0)=1 e portanto \phi_0=0 (ou múltiplos de 2\pi). Além disso, a velocidade em x=0 é \partial y/\partial t\big|_{x=0} = -A\omega\sin(\omega t + \phi_0), em t=0 -A\omega\sin(\phi_0). Para \phi_0=0 a velocidade é zero — consistente com o enunciado. Então a escolha \phi_0=0 é a correta e mais simples.
Forma da onda viajante:
  • A forma consistente com todos os dados e que descreve uma onda viajando para +x é
y(x,t)=A\cos\big(kx - \omega t\big).
Verificação em x=0:
y(0,t)=A\cos(-\omega t)=A\cos(\omega t),
que em t=0 A e tem velocidade zero — perfeito.

Passo 5

Substituir os valores numéricos na função de onda (continuando parte b) e escrever a fórmula final.
Usando A=0{,}075\\ \mathrm{m}, k=\dfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m} e \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}, obtemos:
y(x,t) = 0{,}075\\ \cos\!\bigg(\frac{\pi}{3}x - 4\pi t\bigg)\\ \text{(metros)}.
Observação prática: aqui x em metros e t em segundos.

Passo 6

Agora a parte (c): escrever as equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade que Tobias segura ( x=0) e em um ponto a 3{,}0\\ \mathrm{m} dessa extremidade ( x=3{,}0\\ \mathrm{m}).
Para x=0 (extremidade que Tobias segura):
  • Substitua x=0 em y(x,t):
y(0,t) = 0{,}075\\ \cos\big(0 - 4\pi t\big) = 0{,}075\\ \cos(4\pi t).
Isto é um movimento harmônico simples com amplitude 0{,}075\\ \mathrm{m} e frequência angular 4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Para x=3{,}0\\ \mathrm{m}:
  • Substitua x=3{,}0 em y(x,t):
y(3{,}0,t) = 0{,}075\\ \cos\!\bigg(\frac{\pi}{3}\cdot 3{,}0 - 4\pi t\bigg).
Calcule o termo de fase espacial:
\frac{\pi}{3}\cdot 3{,}0 = \pi.
Então
y(3{,}0,t) = 0{,}075\\ \cos\big(\pi - 4\pi t\big).
Podemos usar a identidade trigonométrica \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta para simplificar:
y(3{,}0,t) = 0{,}075\big(-\cos(4\pi t)\big) = -0{,}075\\ \cos(4\pi t).
Interpretação física rápida: como x=3{,}0\\ \mathrm{m} = \lambda/2 (já que \lambda=6{,}0\\ \mathrm{m}), o ponto a 3{,}0\\ \mathrm{m} está em antifaase com a extremidade; quando a extremidade está no máximo positivo, o ponto a 3{,}0\\ \mathrm{m} está no máximo negativo.

Passo 7

Resumo final organizado (respostas finais apresentadas de forma limpa, para conferir rápido na prova).

Resposta

a) A=0{,}075\\ \mathrm{m}, \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s} (≈ 12{,}566\\ \mathrm{rad/s}), T=0{,}5\\ \mathrm{s}, \lambda=6{,}0\\ \mathrm{m}, k=\dfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}.
b) y(x,t)=0{,}075\\ \cos\!\bigg(\dfrac{\pi}{3}x - 4\pi t\bigg)\\ \mathrm{m}.
c) y(0,t)=0{,}075\\ \cos(4\pi t)\\ \mathrm{m}.
y(3{,}0,t)=-0{,}075\\ \cos(4\pi t)\\ \mathrm{m}.

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