ONDA NA CORDA DE UM VARAL Seu primo Tobias está brincando com a corda do seu varal de roupas. Ele desamarra uma das extremidades da corda, mantém a corda esticada e faz essa extremidade oscilar para cima e para baixo senoidalmente com uma amplitude de 0,075 \mathrm{~m} e uma freqüência igual a 2,0 \mathrm{~Hz}. A velocidade da onda é v=12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No instante t=0 a extremidade possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida na extremidade afastada para perturbar a configuração. a) Ache a amplitude, a freqüência angular, o período, o comprimento de onda e o número de onda desta onda. b) Escreva uma função de onda que descreva a onda. c) Escreva equações para o deslocamento em funçăo do tempo na extremidade da corda que Tobias segura e em um ponto situado a 3,0 \mathrm{~m} dessa extremidade.
Passo 1
O enunciado pede três coisas (a, b e c). Vou listar exatamente o que é pedido e todos os dados fornecidos, para não nos perdermos depois.
Perguntas do enunciado:
(a) Ache a amplitude, a frequência angular, o período, o comprimento de onda e o número de onda.
(b) Escreva uma função de onda que descreva a onda.
(c) Escreva equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade que Tobias segura e em um ponto situado a 3{,}0\\ \mathrm{m} dessa extremidade.
Dados fornecidos:
A amplitude da oscilação da extremidade é 0{,}075\\ \mathrm{m}. (isto foi dado)
A frequência é 2{,}0\\ \mathrm{Hz}. (isto foi dado)
A velocidade da onda é v = 12{,}0\\ \mathrm{m/s}. (isto foi dado)
No instante t=0 a extremidade tem deslocamento positivo máximo e está em repouso. (isto define a fase inicial da oscilação)
Suponha que a onda não é refletida na extremidade afastada (onda viajante sem interferência por reflexão).
Passo 2
Vamos lembrar as definições e fórmulas importantes (aulas rápidas, bem mastigadas).
Amplitude:
A amplitude A é o deslocamento máximo da corda em relação à posição de equilíbrio. É dada diretamente no enunciado.
Frequência e período:
A frequência f (em hertz, Hz) é o número de oscilações por segundo.
O período T (em segundos) é o tempo de uma oscilação completa e é dado por
T=\frac{1}{f}.
A frequência angular \omega (em rad/s) relaciona-se com a frequência por
\omega = 2\pi f.
Expliquei: 2\pi aparece porque uma oscilação completa corresponde a um ângulo de 2\pi radianos.
Comprimento de onda e número de onda:
A velocidade da onda v, a frequência f e o comprimento de onda \lambda satisfazem
v = f\lambda.
Portanto
\lambda=\frac{v}{f}.
O número de onda k (em rad/m) é definido por
k = \frac{2\pi}{\lambda}.
Explicação: k indica quantos radianos de fase a onda varia por metro.
Função de onda de uma onda progressiva:
Uma forma típica para uma onda harmônica viajando na direção positiva x é
y(x,t) = A\cos\big(kx - \omega t + \varphi\big),
onde \varphi é a fase inicial. Aqui x é a coordenada ao longo da corda (com x=0 na extremidade que Tobias segura), e t é o tempo. Se \varphi for escolhido de modo que em x=0 a condição temporal coincida com o movimento imposto, então a função em x=0 é
y(0,t) = A\cos\big(-\omega t + \varphi\big) = A\cos\big(\omega t - \varphi\big),
usando a paridade do cosseno quando preciso.
Passo 3
Calculemos os valores numéricos pedidos em (a) passo a passo.
k = \frac{2\pi}{6{,}0} = \frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}.
Aproximação:
k \approx 1{,}0472\\ \mathrm{rad/m}.
Passo 4
Justificar a escolha da fase inicial e montar a função de onda (parte b).
Condição inicial: no instante t=0 em x=0 a extremidade tem deslocamento positivo máximo e velocidade vertical zero. Isso caracteriza movimento harmônico simples com deslocamento +A em t=0 e derivada temporal nula.
Para um movimento em x=0 do tipo y(0,t)=A\cos(\omega t + \phi_0), em t=0 temos y(0,0)=A\cos(\phi_0). Queremos y(0,0)=+A, então \cos(\phi_0)=1 e portanto \phi_0=0 (ou múltiplos de 2\pi). Além disso, a velocidade em x=0 é \partial y/\partial t\big|_{x=0} = -A\omega\sin(\omega t + \phi_0), em t=0 dá -A\omega\sin(\phi_0). Para \phi_0=0 a velocidade é zero — consistente com o enunciado. Então a escolha \phi_0=0 é a correta e mais simples.
Forma da onda viajante:
A forma consistente com todos os dados e que descreve uma onda viajando para +x é
y(x,t)=A\cos\big(kx - \omega t\big).
Verificação em x=0:
y(0,t)=A\cos(-\omega t)=A\cos(\omega t),
que em t=0 dá A e tem velocidade zero — perfeito.
Passo 5
Substituir os valores numéricos na função de onda (continuando parte b) e escrever a fórmula final.
Usando A=0{,}075\\ \mathrm{m}, k=\dfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m} e \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}, obtemos:
Observação prática: aqui x em metros e t em segundos.
Passo 6
Agora a parte (c): escrever as equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade que Tobias segura (x=0) e em um ponto a 3{,}0\\ \mathrm{m} dessa extremidade (x=3{,}0\\ \mathrm{m}).
Interpretação física rápida: como x=3{,}0\\ \mathrm{m} = \lambda/2 (já que \lambda=6{,}0\\ \mathrm{m}), o ponto a 3{,}0\\ \mathrm{m} está em antifaase com a extremidade; quando a extremidade está no máximo positivo, o ponto a 3{,}0\\ \mathrm{m} está no máximo negativo.
Passo 7
Resumo final organizado (respostas finais apresentadas de forma limpa, para conferir rápido na prova).
Resposta
a) A=0{,}075\\ \mathrm{m}, \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s} (≈ 12{,}566\\ \mathrm{rad/s}), T=0{,}5\\ \mathrm{s}, \lambda=6{,}0\\ \mathrm{m}, k=\dfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}.
b) y(x,t)=0{,}075\\ \cos\!\bigg(\dfrac{\pi}{3}x - 4\pi t\bigg)\\ \mathrm{m}.
c) y(0,t)=0{,}075\\ \cos(4\pi t)\\ \mathrm{m}. y(3{,}0,t)=-0{,}075\\ \cos(4\pi t)\\ \mathrm{m}.