P. 172 No lançamento oblíquo de um projétil, a altura máxima é 20 m . No ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar do projétil é 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
a) o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) a velocidade escalar de lançamento;
c) o ângulo de tiro expresso por uma de suas funções trigonométricas;
d) o alcance do lançamento.

Passo 1

O enunciado dá um lançamento oblíquo sem resistência do ar com as seguintes informações:
  • A altura máxima alcançada é \,20\\ \mathrm{m}.
  • No ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar (o módulo da velocidade) é \,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração da gravidade \,g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
    Perguntas:
    a) determinar o tempo total do movimento e o tempo de subida;
    b) determinar a velocidade escalar de lançamento;
    c) determinar o ângulo de tiro expresso por uma das suas funções trigonométricas;
    d) determinar o alcance do lançamento.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero, logo a velocidade que restou naquele ponto é a componente horizontal, constante durante o movimento. Portanto a componente horizontal da velocidade é \,V_x=5\\ \mathrm{m/s}.
  • A altura máxima \,H=20\\ \mathrm{m} é dada e relaciona-se com a componente vertical inicial \,V_{y0} por uma fórmula de cinemática vertical.

Passo 2

Conceitos fundamentais e como vou usá-los (aula rápida e prática):
  • Decomposição de velocidade: a velocidade inicial \,V_0 pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical: V_0 \longrightarrow V_x \quad\text{(horizontal, constante)}\qquad V_{y0}\quad\text{(vertical, muda com a gravidade)}.Aqui V_x e V_{y0} são as componentes ao lançamento; V_x é constante porque não há aceleração horizontal (resistência do ar desprezada).
  • No ponto mais alto da trajetória, a componente vertical é zero: V_y(\text{topo})=0. Assim a velocidade escalar no topo é igual a |V_x|. Do enunciado pegamos isso e já identificamos \,V_x=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Fórmula da altura máxima em lançamento vertical (ou componente vertical do lançamento): H=\frac{V_{y0}^2}{2g},onde H é a altura máxima, V_{y0} é a componente vertical inicial (para cima) e g é a gravidade. Vou usar esta fórmula para achar V_{y0}.
  • Tempo de subida: do movimento vertical, a velocidade vertical obedece V_y(t)=V_{y0}-g t.No topo V_y=0, daí t_{\text{subida}}=V_{y0}/g.
  • Tempo total para um lançamento simétrico (mesma altura inicial e final) é o dobro do tempo de subida: T_{\text{total}}=2\,t_{\text{subida}}.
  • Alcance horizontal: como V_x é constante, o alcance é R=V_x\cdot T_{\text{total}}.
  • Velocidade inicial e ângulo: o módulo inicial satisfaz o teorema de Pitágoras nas componentes V_0=\sqrt{V_x^2+V_{y0}^2},e as funções trigonométricas do ângulo \theta de lançamento são \tan\theta=\frac{V_{y0}}{V_x},\qquad \sin\theta=\frac{V_{y0}}{V_0},\qquad \cos\theta=\frac{V_x}{V_0}.

Passo 3

Calcular a componente vertical inicial \,V_{y0} usando a fórmula da altura máxima.
A fórmula é
H=\frac{V_{y0}^2}{2g}.
Isolando V_{y0},
V_{y0}=\sqrt{2gH}.
Substituindo os valores dados ( g=10\\ \mathrm{m/s^2} e H=20\\ \mathrm{m}):
V_{y0}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 20}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a componente vertical inicial precisa ser 20\\ \mathrm{m/s} para que, desacelerando por 10\\ \mathrm{m/s^2}, a velocidade vertical vá a zero após subir 20\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o tempo de subida t_{\text{subida}}.
Usando V_y(t)=V_{y0}-g t e impondo V_y=0 no topo:
0=V_{y0}-g\,t_{\text{subida}}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{subida}}=\frac{V_{y0}}{g}.
Substituindo V_{y0}=20\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^2}:
t_{\text{subida}}=\frac{20}{10}=2\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular o tempo total do movimento T_{\text{total}}.
Por simetria do lançamento (mesma altura inicial e final),
T_{\text{total}}=2\,t_{\text{subida}}=2\cdot 2=4\\ \mathrm{s}.
Explicação intuitiva: leva 2 s para subir até o topo e mais 2 s para descer até a mesma altura.

Passo 6

Calcular a velocidade escalar de lançamento V_0.
Usamos a relação pitagórica entre componentes:
V_0=\sqrt{V_x^2+V_{y0}^2}.
Temos V_x=5\\ \mathrm{m/s} (pego do enunciado, velocidade no topo) e V_{y0}=20\\ \mathrm{m/s}. Então
V_0=\sqrt{5^2+20^2}=\sqrt{25+400}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\\ \mathrm{m/s}.
Valor aproximado:
V_0\approx 5\cdot 4,1231\approx 20,62\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Determinar o ângulo de tiro expresso por uma função trigonométrica.
A definição prática é
\tan\theta=\frac{V_{y0}}{V_x}.
Substituindo V_{y0}=20 e V_x=5:
\tan\theta=\frac{20}{5}=4.
Como comentário, podemos também escrever
\sin\theta=\frac{V_{y0}}{V_0}=\frac{20}{5\sqrt{17}}=\frac{4}{\sqrt{17}},\qquad \cos\theta=\frac{V_x}{V_0}=\frac{5}{5\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}},
mas a forma pedida mais simples e direta é \tan\theta=4.

Passo 8

Calcular o alcance R.
Método direto e simples: o alcance é a velocidade horizontal vezes o tempo total:
R=V_x\cdot T_{\text{total}}.
Com V_x=5\\ \mathrm{m/s} e T_{\text{total}}=4\\ \mathrm{s},
R=5\cdot 4=20\\ \mathrm{m}.
Verificação alternativa usando a fórmula clássica R=\dfrac{V_0^2\sin(2\theta)}{g}:
  • Primeiro calcule \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\frac{4}{\sqrt{17}}\cdot\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{8}{17}.
  • Então R=\frac{(5\sqrt{17})^2\cdot\frac{8}{17}}{10}=\frac{425\cdot\frac{8}{17}}{10}=\frac{25\cdot 8}{10}=20\\ \mathrm{m},
o que confirma o resultado.

Resposta

a) tempo total =4\\ \mathrm{s}; tempo de subida =2\\ \mathrm{s}
b) velocidade escalar de lançamento =5\sqrt{17}\\ \mathrm{m/s}\approx 20,62\\ \mathrm{m/s}
c) \tan\theta=4
d) alcance =20\\ \mathrm{m}

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