P. 172 No lançamento oblíquo de um projétil, a altura máxima é 20 m . No ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar do projétil é
. Desprezando a resistência do ar e adotando
, determine:
a) o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) a velocidade escalar de lançamento;
c) o ângulo de tiro expresso por uma de suas funções trigonométricas;
d) o alcance do lançamento.
a) o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) a velocidade escalar de lançamento;
c) o ângulo de tiro expresso por uma de suas funções trigonométricas;
d) o alcance do lançamento.
Passo 1
O enunciado dá um lançamento oblíquo sem resistência do ar com as seguintes informações:
- A altura máxima alcançada é
. - No ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar (o módulo da velocidade) é
. - Aceleração da gravidade
.
Perguntas:
a) determinar o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) determinar a velocidade escalar de lançamento;
c) determinar o ângulo de tiro expresso por uma das suas funções trigonométricas;
d) determinar o alcance do lançamento.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero, logo a velocidade que restou naquele ponto é a componente horizontal, constante durante o movimento. Portanto a componente horizontal da velocidade é
. - A altura máxima
é dada e relaciona-se com a componente vertical inicial por uma fórmula de cinemática vertical.
Passo 2
Conceitos fundamentais e como vou usá-los (aula rápida e prática):
- Decomposição de velocidade: a velocidade inicial
pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical: Aqui e são as componentes ao lançamento; é constante porque não há aceleração horizontal (resistência do ar desprezada). - No ponto mais alto da trajetória, a componente vertical é zero:
. Assim a velocidade escalar no topo é igual a . Do enunciado pegamos isso e já identificamos . - Fórmula da altura máxima em lançamento vertical (ou componente vertical do lançamento):
onde é a altura máxima, é a componente vertical inicial (para cima) e é a gravidade. Vou usar esta fórmula para achar . - Tempo de subida: do movimento vertical, a velocidade vertical obedece
No topo , daí . - Tempo total para um lançamento simétrico (mesma altura inicial e final) é o dobro do tempo de subida:
- Alcance horizontal: como
é constante, o alcance é - Velocidade inicial e ângulo: o módulo inicial satisfaz o teorema de Pitágoras nas componentes
e as funções trigonométricas do ângulo de lançamento são
Passo 3
Calcular a componente vertical inicial
usando a fórmula da altura máxima.
A fórmula é
A fórmula é
Isolando
,
Substituindo os valores dados (
e
):
Interpretação: a componente vertical inicial precisa ser
para que, desacelerando por
, a velocidade vertical vá a zero após subir
.
Passo 4
Calcular o tempo de subida
.
Usando e impondo
no topo:
Usando
Substituindo
e
:
Passo 5
Calcular o tempo total do movimento
.
Por simetria do lançamento (mesma altura inicial e final),
Por simetria do lançamento (mesma altura inicial e final),
Explicação intuitiva: leva 2 s para subir até o topo e mais 2 s para descer até a mesma altura.
Passo 6
Calcular a velocidade escalar de lançamento
.
Usamos a relação pitagórica entre componentes:
Usamos a relação pitagórica entre componentes:
Temos
(pego do enunciado, velocidade no topo) e
. Então
Valor aproximado:
Passo 7
Determinar o ângulo de tiro expresso por uma função trigonométrica.
A definição prática é
A definição prática é
Substituindo
e
:
Como comentário, podemos também escrever
mas a forma pedida mais simples e direta é
.
Passo 8
Calcular o alcance
.
Método direto e simples: o alcance é a velocidade horizontal vezes o tempo total:
Método direto e simples: o alcance é a velocidade horizontal vezes o tempo total:
Com
e
,
Verificação alternativa usando a fórmula clássica
:
- Primeiro calcule
. - Então
o que confirma o resultado.
Resposta
a) tempo total
; tempo de subida
b) velocidade escalar de lançamento
c)
d) alcance
b) velocidade escalar de lançamento
c)
d) alcance