Uma partícula move-se ao longo da trajetória
com uma velocidade escalar constante de
. Determine as componentes
e
da velocidade e aceleração quando a partícula está em
.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo da trajetória definida por
com uma velocidade constante de
. Nosso objetivo é encontrar as componentes da velocidade e da aceleração nos eixos
e
quando a partícula está em
. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a trajetória da partícula. A equação
descreve uma parábola que abre para a direita. Para encontrar as componentes da velocidade, precisamos relacionar a velocidade escalar constante com as velocidades nas direções
e
.
Passo 3
Sabemos que a velocidade escalar
é constante e igual a
. Isso significa que as componentes da velocidade
e
devem satisfazer a seguinte relação:
Substituindo
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação da trajetória para relacionar
e
. Diferenciando
em relação ao tempo
, temos:
Simplificando:
Onde
e
.
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Queremos encontrar
e
quando
. Primeiro, vamos encontrar o valor de
nesse ponto usando a equação da trajetória:
Passo 6
Substituindo
na segunda equação do sistema:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração. Como a velocidade é constante em módulo, a aceleração é centrípeta e está relacionada com a curvatura da trajetória. Para isso, vamos diferenciar as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Primeiro, diferenciamos a relação
:
Aplicando a regra do produto:
Onde
e
.
Passo 8
Sabemos que a velocidade é constante em módulo, mas as direções estão mudando, então a aceleração não é nula. Usando os valores de
e
que encontramos:
Também sabemos que a aceleração é perpendicular à velocidade em movimento circular. Com isso, e após resolver o sistema de equações, chegamos aos valores:
Resposta
As componentes da velocidade e aceleração quando a partícula está em
são: