Uma partícula move-se ao longo da trajetória y^2=4 x com uma velocidade escalar constante de 4 m / s. Determine as componentes x e t da velocidade e aceleração quando a partícula está em x=4 m.
Resposta: vx=3,58 m / s ; vy=1,79 m / s ; ax=0,32 m / s^2 ; ay=-0,64 m / s^2(0,64 m / s^2 downarrow).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo da trajetória definida por y^2=4x com uma velocidade constante de 4 m/s. Nosso objetivo é encontrar as componentes da velocidade e da aceleração nos eixos x e y quando a partícula está em x = 4 m. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a trajetória da partícula. A equação y^2=4x descreve uma parábola que abre para a direita. Para encontrar as componentes da velocidade, precisamos relacionar a velocidade escalar constante com as velocidades nas direções x e y.

Passo 3

Sabemos que a velocidade escalar v é constante e igual a 4 m/s. Isso significa que as componentes da velocidade vx e vy devem satisfazer a seguinte relação:
v = raizvx^2 + vy^2
Substituindo v = 4 m/s, temos:
4 = raizvx^2 + vy^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
16 = vx^2 + vy^2

Passo 4

Agora, vamos usar a equação da trajetória para relacionar vx e vy. Diferenciando y^2=4x em relação ao tempo t, temos:
2y dydt = 4 dxdt
Simplificando:
y vy = 2 vx
Onde vx = dxdt e vy = dydt.

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
vx^2 + vy^2 = 16 y vy = 2 vx
Queremos encontrar vx e vy quando x = 4 m. Primeiro, vamos encontrar o valor de y nesse ponto usando a equação da trajetória:
y^2 = 4 times 4 Rightarrow y^2 = 16 Rightarrow y = 4 m (considerando y positivo)

Passo 6

Substituindo y = 4 m na segunda equação do sistema:
4 vy = 2 vx Rightarrow vx = 2 vy
Agora, substituímos vx na primeira equação:
(2 vy)^2 + vy^2 = 16 Rightarrow 4 vy^2 + vy^2 = 16 Rightarrow 5 vy^2 = 16 Rightarrow vy^2 = 165 Rightarrow vy = raiz165 approx 1,79 m/s
Então:
vx = 2 times 1,79 approx 3,58 m/s

Passo 7

Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração. Como a velocidade é constante em módulo, a aceleração é centrípeta e está relacionada com a curvatura da trajetória. Para isso, vamos diferenciar as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Primeiro, diferenciamos a relação y vy = 2 vx:
ddt(y vy) = ddt(2 vx)
Aplicando a regra do produto:
vy^2 + y ay = 2 ax
Onde ax = dvxdt e ay = dvydt.

Passo 8

Sabemos que a velocidade é constante em módulo, mas as direções estão mudando, então a aceleração não é nula. Usando os valores de vx e vy que encontramos:
(1,79)^2 + 4 ay = 2 ax
3,2041 + 4 ay = 2 ax
Também sabemos que a aceleração é perpendicular à velocidade em movimento circular. Com isso, e após resolver o sistema de equações, chegamos aos valores:
ax approx 0,32 m/s^2
ay approx -0,64 m/s^2

Resposta

As componentes da velocidade e aceleração quando a partícula está em x=4 m são:
vx = 3,58 m/s ; vy = 1,79 m/s ; ax = 0,32 m/s^2 ; ay = -0,64 m/s^2 (0,64 m/s^2 downarrow)

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