Sobre a caixa de redução de velocidades está aplicado um sistema de forças e torques, consistindo de seu peso P, das forças nos apoios simples A e B e dos torques nos eixos de entrada e saída, respectivamente iguais a 20 Nm e 50 Nm. Para que a caixa permaneça imobilizada, esse sistema deve ser nulo. Determine as forças nos apoios. Se o equipamento entra em novo regime, aumentando-se o torque de entrada para 25 Nm, torna-se necessário fixar o apoio B com um parafuso. Calcule o esforço nesse parafuso. (Admitindo não haver perdas, a potência de entrada e de saída permanecem sempre iguais entre si.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa de redução de velocidades que está sob a ação de várias forças e torques: o peso $ P $, as forças nos apoios simples $ A $ e $ B $, e os torques nos eixos de entrada e saída, que são 20 Nm e 50 Nm, respectivamente. Nosso objetivo é determinar as forças nos apoios para que a caixa fique parada, ou seja, em equilíbrio. Depois, precisamos calcular o esforço no parafuso que fixa o apoio $ B $ quando o torque de entrada aumenta para 25 Nm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e torques.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o equilíbrio de torques. Para que a caixa permaneça imobilizada, a soma dos torques deve ser zero. Temos os torques de entrada e saída: 20 Nm e 50 Nm.
Então, a condição de equilíbrio de torques é:
Substituindo os valores:
Isso mostra que há um desequilíbrio de torques, então precisamos considerar as forças nos apoios para equilibrar isso.
Passo 3
Agora, vamos analisar o equilíbrio das forças verticais. A soma das forças verticais deve ser igual a zero. Temos o peso $ P $ puxando para baixo e as forças nos apoios $ A $ e $ B $ puxando para cima.
A condição de equilíbrio das forças verticais é:
Aqui, $ A $ e $ B $ são as forças nos apoios A e B, respectivamente.
Passo 4
Além disso, precisamos equilibrar os torques considerando as forças nos apoios. Supondo que as forças $ A $ e $ B $ atuam a uma certa distância $ d $ dos eixos de entrada e saída, podemos relacionar os torques às forças.
A soma dos torques deve ser zero:
Onde $ \tau_A = A \times d $ e $ \tau_B = B \times d $.
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Passo 5
Usando a relação das forças verticais $ A + B = P $ e $ A - B = \frac{30}{d} $, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar $ A $ e $ B $.
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte da questão. Quando o torque de entrada aumenta para 25 Nm, precisamos fixar o apoio $ B $ com um parafuso. Isso significa que o apoio $ B $ ficará fixo e não poderá mais se mover, então todo o torque extra será suportado pelo parafuso.
Aumentando o torque de entrada para 25 Nm, a nova condição de equilíbrio de torques será:
Agora, para equilibrar esse desequilíbrio, o parafuso no apoio $ B $ precisa exercer um torque de 25 Nm.
Passo 7
Sabemos que torque é o produto da força pela distância ($ \tau = F \times d $). Para encontrar o esforço $ F $ no parafuso, rearranjamos a fórmula:
Substituindo $ \tau = 25, Nm $:
Portanto, o esforço no parafuso é $ \frac{25}{d} $ N, onde $ d $ é a distância do parafuso ao ponto de aplicação do torque.
Resposta
As forças nos apoios são $ A = \frac{P}{2} + \frac{15}{d} $ e $ B = \frac{P}{2} - \frac{15}{d} $. O esforço no parafuso que fixa o apoio $ B $ quando o torque de entrada aumenta para 25 Nm é $ \frac{25}{d} $ N.