Uma partícula se move numa órbita elíptica num campo de força inverso do quadrado. Prove que o produto das velocidades mínimas e máxima é igual a (2 pi a / tau)^2, onde a é o semi-eixo maior e tau é o tempo periódico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que está se movendo numa órbita elíptica sob a influência de uma força que varia com o inverso do quadrado da distância, tipo a gravidade. O desafio aqui é demostrar que o produto das velocidades mínima e máxima dessa partícula é igual a (2 pi a / tau)^2, onde a é o semi-eixo maior da elipse e tau é o período da órbita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital, como velocidade angular, energia e as propriedades das órbitas elípticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa órbita elíptica, a distância da partícula ao foco varia. O ponto mais próximo é o periélio, onde a velocidade é máxima, e o mais afastado é o apoélio, onde a velocidade é mínima. Vamos chamar a velocidade no periélio de vmax e no apoélio de vmin.

Passo 3

Sabemos que a energia total numa órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial. Mas, para facilitar, vamos focar na conservação do momento angular. O momento angular L é dado por:
L = r cdot v
Como não há torque externo, L é constante. Então, no periélio ( rp) e no apoélio ( ra), temos:
L = rp cdot vmax = ra cdot vmin

Passo 4

Agora, vamos lembrar que, em uma órbita elíptica, o semi-eixo maior a está relacionado com o periélio e o apoélio pela equação:
a = rp + ra2
Então, podemos expressar rp e ra em termos de a:
rp = a(1 - e)
ra = a(1 + e)
onde e é a excentricidade da órbita.

Passo 5

Voltando à igualdade do momento angular:
rp cdot vmax = ra cdot vmin
Substituindo rp e ra:
a(1 - e) cdot vmax = a(1 + e) cdot vmin
Podemos simplificar a dos dois lados:
(1 - e) cdot vmax = (1 + e) cdot vmin

Passo 6

Queremos encontrar o produto vmax cdot vmin. Para isso, vamos isolar uma das velocidades. Vamos isolar vmax:
vmax = (1 + e)(1 - e) cdot vmin
Agora, multiplicando ambos os lados por vmin:
vmax cdot vmin = (1 + e)(1 - e) cdot vmin^2
Mas precisamos relacionar isso com a e tau.

Passo 7

Sabemos que o período orbital tau está relacionado com o semi-eixo maior a pela terceira lei de Kepler, que diz:
tau^2 propto a^3
Especificamente, para uma força gravitacional, temos:
tau = 2pi raiza^3G M
onde G é a constante gravitacional e M é a massa do corpo central. Porém, para simplificar, vamos considerar que 2pi a / tau está relacionado com a velocidade média.

Passo 8

A velocidade média vmedia numa órbita elíptica é dada por:
vmedia = 2pi atau
Queremos mostrar que:
vmax cdot vmin = ( 2pi atau )^2

Passo 9

Voltando ao Passo 6, temos:
vmax cdot vmin = (1 + e)(1 - e) cdot vmin^2
Para chegar no produto desejado, precisamos relacionar vmin com vmedia. Sabemos que em uma órbita elíptica:
vmax = vmedia cdot 1 + eraiz1 - e^2
vmin = vmedia cdot 1 - eraiz1 - e^2

Passo 10

Multiplicando essas duas expressões:
vmax cdot vmin = ( vmedia cdot 1 + eraiz1 - e^2 ) cdot ( vmedia cdot 1 - eraiz1 - e^2 )
vmax cdot vmin = vmedia^2 cdot (1 + e)(1 - e)1 - e^2
vmax cdot vmin = vmedia^2

Passo 11

Finalmente, substituindo vmedia = 2pi atau:
vmax cdot vmin = ( 2pi atau )^2

Resposta

Demonstramos que o produto das velocidades mínima e máxima é igual a ( 2 pi atau )^2.

Exercícios relacionados