Uma partícula se move numa órbita elíptica num campo de força inverso do quadrado. Prove que o produto das velocidades mínimas e máxima é igual a
, onde
é o semi-eixo maior e
é o tempo periódico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que está se movendo numa órbita elíptica sob a influência de uma força que varia com o inverso do quadrado da distância, tipo a gravidade. O desafio aqui é demostrar que o produto das velocidades mínima e máxima dessa partícula é igual a
, onde
é o semi-eixo maior da elipse e
é o período da órbita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital, como velocidade angular, energia e as propriedades das órbitas elípticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que numa órbita elíptica, a distância da partícula ao foco varia. O ponto mais próximo é o periélio, onde a velocidade é máxima, e o mais afastado é o apoélio, onde a velocidade é mínima. Vamos chamar a velocidade no periélio de
e no apoélio de
.
Passo 3
Sabemos que a energia total numa órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial. Mas, para facilitar, vamos focar na conservação do momento angular. O momento angular
é dado por:
Como não há torque externo,
é constante. Então, no periélio (
) e no apoélio (
), temos:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que, em uma órbita elíptica, o semi-eixo maior
está relacionado com o periélio e o apoélio pela equação:
Então, podemos expressar
e
em termos de
:
onde
é a excentricidade da órbita.
Passo 5
Voltando à igualdade do momento angular:
Substituindo
e
:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 6
Queremos encontrar o produto
. Para isso, vamos isolar uma das velocidades. Vamos isolar
:
Agora, multiplicando ambos os lados por
:
Mas precisamos relacionar isso com
e
.
Passo 7
Sabemos que o período orbital
está relacionado com o semi-eixo maior
pela terceira lei de Kepler, que diz:
Especificamente, para uma força gravitacional, temos:
onde
é a constante gravitacional e
é a massa do corpo central. Porém, para simplificar, vamos considerar que
está relacionado com a velocidade média.
Passo 8
A velocidade média
numa órbita elíptica é dada por:
Queremos mostrar que:
Passo 9
Voltando ao Passo 6, temos:
Para chegar no produto desejado, precisamos relacionar
com
. Sabemos que em uma órbita elíptica:
Passo 10
Multiplicando essas duas expressões:
Passo 11
Finalmente, substituindo
:
Resposta
Demonstramos que o produto das velocidades mínima e máxima é igual a
.