- Uma partícula move-se no plano de modo que no instante
sua posição é dada por
. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
no deslocamento da partícula de
até
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
- A posição da partícula no instante
é dada por . (Peguei isso do enunciado.) - O campo de forças é
. (Peguei isso do enunciado.) - O deslocamento é da posição
até . - O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pelo campo
ao longo da trajetória de até .
Passo 2
Conceito e fórmula do trabalho (linha integral de um campo vetorial).
- Definição usada: o trabalho realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva orientada é a integral de linha
- Aqui
é a curva traçada pela partícula (no nosso caso, a imagem de para entre e ), é um vetor infinitesimal tangente à curva, e é o produto escalar entre e o deslocamento infinitesimal — isso mede a componente de que faz trabalho ao longo da direção do movimento. - Quando a curva é dada por uma parametrização
, com no intervalo , substitui-se e , obtendo-se
- Explicando as notações:
é a derivada da parametrização em relação a (é o vetor velocidade), e o produto escalar para e vale
Passo 3
Aplicar a parametrização dada
e calcular
.
- A parametrização é
com e , para (peguei esses limites do enunciado). - Derivando componente a componente:
- Interpretação física rápida: a velocidade é constante na direção
(módulo ) e não há variação em .
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva:
.
- O campo é
. - Substituindo
e (peguei isso da parametrização ):
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
- Usando a fórmula do produto escalar para vetores em
:
- Simplificando:
- Interpretação: a componente de
na direção do movimento (que é a direção ) é simplesmente .
Passo 6
Integrar no intervalo
para obter o trabalho.
- A integral do trabalho é
- Calcule a integral passo a passo. Primeiro integrar
:
- Depois integrar
:
- Somando e avaliando de
a :
Passo 7
Interpretação final e incentivo.
- O trabalho total realizado pelo campo
quando a partícula vai de até é . - Bom trabalho! Esse tipo de exercício é sempre: parametrizar, substituir, calcular
, fazer o produto escalar e integrar. Mantém essa sequência na prova que você não se perde.