1. Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição é dada por \gamma(t)=(t, 2). Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças \vec{F}(x, y)=(x+y) \vec{i}+(x-y) \vec{j} no deslocamento da partícula de \gamma(0) até \gamma(1).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A posição da partícula no instante t é dada por \gamma(t)=(t,2). (Peguei isso do enunciado.)
  • O campo de forças é \vec{F}(x,y)=(x+y)\,\vec{i}+(x-y)\,\vec{j}. (Peguei isso do enunciado.)
  • O deslocamento é da posição \gamma(0) até \gamma(1).
  • O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pelo campo \vec{F} ao longo da trajetória de \gamma(0) até \gamma(1).

Passo 2

Conceito e fórmula do trabalho (linha integral de um campo vetorial).
  • Definição usada: o trabalho realizado por um campo de forças \vec{F} ao longo de uma curva C orientada é a integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • Aqui C é a curva traçada pela partícula (no nosso caso, a imagem de \gamma(t) para t entre 0 e 1), d\vec{r} é um vetor infinitesimal tangente à curva, e \vec{F}\cdot d\vec{r} é o produto escalar entre \vec{F} e o deslocamento infinitesimal — isso mede a componente de \vec{F} que faz trabalho ao longo da direção do movimento.
  • Quando a curva é dada por uma parametrização \gamma(t)=(x(t),y(t)), com t no intervalo [a,b], substitui-se d\vec{r}=\gamma'(t)\,dt e \vec{F}=\vec{F}(\gamma(t)), obtendo-se
W=\int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
  • Explicando as notações: \gamma'(t) é a derivada da parametrização em relação a t (é o vetor velocidade), e o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} para \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2) vale
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.

Passo 3

Aplicar a parametrização dada \gamma(t)=(t,2) e calcular \gamma'(t).
  • A parametrização é \gamma(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=t e y(t)=2, para t\in[0,1] (peguei esses limites do enunciado).
  • Derivando componente a componente:
\gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,0).
  • Interpretação física rápida: a velocidade é constante na direção x (módulo 1) e não há variação em y.

Passo 4

Avaliar o campo \vec{F} ao longo da curva: \vec{F}(\gamma(t)).
  • O campo é \vec{F}(x,y)=(x+y,\;x-y).
  • Substituindo x=t e y=2 (peguei isso da parametrização \gamma):
\vec{F}(\gamma(t))=(t+2,\;t-2).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).
  • Usando a fórmula do produto escalar para vetores em \mathbb{R}^2:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=(t+2)\cdot 1 + (t-2)\cdot 0.
  • Simplificando:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=t+2.
  • Interpretação: a componente de \vec{F} na direção do movimento (que é a direção x) é simplesmente t+2.

Passo 6

Integrar no intervalo t\in[0,1] para obter o trabalho.
  • A integral do trabalho é
W=\int_{0}^{1}\bigl(t+2\bigr)\,dt.
  • Calcule a integral passo a passo. Primeiro integrar t:
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.
  • Depois integrar 2:
\int 2\,dt=2t.
  • Somando e avaliando de 0 a 1:
W=\left[\frac{t^{2}}{2}+2t\right]_{0}^{1}=\left(\frac{1^{2}}{2}+2\cdot 1\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}+2\cdot 0\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo.
  • O trabalho total realizado pelo campo \vec{F} quando a partícula vai de \gamma(0) até \gamma(1) é \dfrac{5}{2}.
  • Bom trabalho! Esse tipo de exercício é sempre: parametrizar, substituir, calcular \gamma'(t), fazer o produto escalar e integrar. Mantém essa sequência na prova que você não se perde.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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