1. Calcule \int_{\gamma} x d x+y d y, sendo \gamma dada por x=t e y=\operatorname{sen} t, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\int_{\gamma} x\,dx+y\,dy
onde a curva \gamma é dada pela parametrização x=t e y=\operatorname{sen} t para 0\le t\le \tfrac{\pi}{2}.
Informações relevantes que temos:
  • A parametrização é \;x(t)=t,\;y(t)=\sin t,\;t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
  • A integral pedida é a integral de uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=x e Q(x,y)=y.
    O que precisa ser calculado: o valor numérico de \displaystyle\int_{\gamma} x\,dx+y\,dy.

Passo 2

Lembrete prático (como se faz esse tipo de integral): se \omega=P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy e a curva \gamma tem parametrização \;x=x(t),\;y=y(t),\;t\in[a,b], então a integral de linha é
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy=\int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as funções que multiplicam dx e dy na forma diferencial;
  • x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt} são as derivadas da parametrização;
  • a e b são os limites do parâmetro t.
    Vamos aplicar exatamente essa fórmula ao nosso caso.

Passo 3

Aplicando a fórmula com P(x,y)=x, Q(x,y)=y e a parametrização x(t)=t,\;y(t)=\sin t para t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]:
primeiro calcule as derivadas
x'(t)=\frac{d}{dt}t=1,\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\sin t=\cos t.
Substituindo em \displaystyle\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\big(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\big)\,dt obtemos
\int_{\gamma}x\,dx+y\,dy=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\big(x(t)\cdot 1 + y(t)\cdot \cos t\big)\,dt.

Passo 4

Agora substitua x(t)=t e y(t)=\sin t na expressão do integrando:
\int_{\gamma}x\,dx+y\,dy=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\big(t + \sin t\cos t\big)\,dt.
Separando a integral em duas:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} t\,dt \;+\; \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin t\cos t\,dt.
Vamos calcular cada uma com calma.

Passo 5

Calcule \displaystyle\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} t\,dt. Usa-se a regra de potência/antiderivada:
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C.
Portanto
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} t\,dt=\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}-0=\frac{\pi^{2}}{8}.

Passo 6

Calcule \displaystyle\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin t\cos t\,dt. Duas maneiras simples:
Método A (identidade dupla):
\sin t\cos t=\frac{1}{2}\sin(2t),
logo
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin t\cos t\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin(2t)\,dt.
Fazendo a substituição u=2t ou integrando diretamente:
\int \sin(2t)\,dt=-\frac{1}{2}\cos(2t)+C,
então
\frac{1}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin(2t)\,dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=\left[-\frac{1}{4}\cos(2t)\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}.
Avalia:
-\frac{1}{4}\cos\big(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\big)-\Big(-\frac{1}{4}\cos(0)\Big)=-\frac{1}{4}\cos\pi+\frac{1}{4}\cos 0=-\frac{1}{4}(-1)+\frac{1}{4}(1)=\frac{1}{2}.
Método B (derivada de \sin^{2}t):
\frac{d}{dt}\big(\sin^{2}t\big)=2\sin t\cos t\quad\Rightarrow\quad \sin t\cos t=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\big(\sin^{2}t\big).
Logo
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin t\cos t\,dt=\frac{1}{2}\left[\sin^{2}t\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}.
Ambos os métodos dão o mesmo resultado \dfrac{1}{2}.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtidas:
\int_{\gamma}x\,dx+y\,dy=\frac{\pi^{2}}{8}+\frac{1}{2}.
Esse é o valor final da integral.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{8}+\dfrac{1}{2}

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