Calcule \int_{\gamma} x d x+y d y, sendo \gamma dada por x=t e y=\operatorname{sen} t, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
\int_{\gamma} x\,dx+y\,dy
onde a curva \gamma é dada pela parametrização x=t e y=\operatorname{sen} t para 0\le t\le \tfrac{\pi}{2}.
Informações relevantes que temos:
A parametrização é \;x(t)=t,\;y(t)=\sin t,\;t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
A integral pedida é a integral de uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=x e Q(x,y)=y.
O que precisa ser calculado: o valor numérico de \displaystyle\int_{\gamma} x\,dx+y\,dy.
Passo 2
Lembrete prático (como se faz esse tipo de integral): se \omega=P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy e a curva \gamma tem parametrização \;x=x(t),\;y=y(t),\;t\in[a,b], então a integral de linha é
P(x,y) e Q(x,y) são as funções que multiplicam dx e dy na forma diferencial;
x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt} são as derivadas da parametrização;
a e b são os limites do parâmetro t.
Vamos aplicar exatamente essa fórmula ao nosso caso.
Passo 3
Aplicando a fórmula com P(x,y)=x, Q(x,y)=y e a parametrização x(t)=t,\;y(t)=\sin t para t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]:
primeiro calcule as derivadas
x'(t)=\frac{d}{dt}t=1,\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\sin t=\cos t.
Substituindo em \displaystyle\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\big(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\big)\,dt obtemos