Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(20 t,-2 t^{2}+20 t\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=1 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima (para t>0 ).
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo (y=0).
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano como a função vetorial
com t em segundos e \boldsymbol{r} em metros. As perguntas são:
a) Calcular a velocidade e a aceleração em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=1\\ \mathrm{s}.
c) Determinar o instante t>0 em que a partícula atinge a altura máxima.
d) Calcular a altura máxima y_{\text{max}}.
e) Determinar o instante em que a partícula bate no solo (y=0).
Informações relevantes extraídas do enunciado: a componente x da posição é x(t)=20\,t e a componente y da posição é y(t)=-2\,t^{2}+20\,t.
Passo 2
Entendendo a velocidade: a velocidade instantânea \boldsymbol{v}(t) é a derivada temporal da posição, isto é \boldsymbol{v}(t)=\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}. Para funções vetoriais, derivamos componente a componente. Vou aplicar a regra do poder: \dfrac{d}{dt}(t^n)=n\,t^{n-1} e a derivada de a\,t é a.
Entendendo a aceleração: a aceleração instantânea \boldsymbol{a}(t) é a derivada temporal da velocidade, \boldsymbol{a}(t)=\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}}. Novamente derivamos componente a componente.
Unidades: \mathrm{m/s}. Interpretação: no intervalo 0\to1\\ \mathrm{s} a velocidade média tem componente 20\\ \mathrm{m/s} em x e 18\\ \mathrm{m/s} em y.
Unidades: \mathrm{m/s^{2}}. Observação: aqui a aceleração média coincide com a aceleração instantânea porque a aceleração é constante.
Passo 6
Instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima: a altura é dada por y(t)=-2\,t^{2}+20\,t. Um máximo ocorre quando a velocidade vertical é zero, isto é quando \dfrac{dy}{dt}=0. Já calculamos \dfrac{dy}{dt}=-4\,t+20. Igualando a zero:
Justificativa: a aceleração vertical é negativa constante (-4), então a velocidade vertical passa por zero no pico; essa condição identifica o tempo do máximo. Como o enunciado pede t>0, usamos t=5\\ \mathrm{s}.
Passo 7
Altura máxima y_{\text{max}}: avaliamos y(t) em t=5:
Instante em que a partícula bate no solo (y=0): resolver a equação
-2\,t^{2}+20\,t=0.
Fatorando:
-2\,t(t-10)=0.
As soluções são t=0 e t=10. t=0 é o instante inicial; para o instante posterior t>0 temos t=10\\ \mathrm{s}. Interpretação física: a partícula sobe até t=5\\ \mathrm{s} e volta ao solo em t=10\\ \mathrm{s}.
Resposta
a) \boldsymbol{v}(t)=\bigl(20,\;-4\,t+20\bigr), \boldsymbol{a}(t)=\bigl(0,\;-4\bigr).
b) \overline{\boldsymbol{v}}=(20,18)\\ \mathrm{m/s}, \overline{\boldsymbol{a}}=(0,-4)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
c) t=5\\ \mathrm{s}.
d) y_{\text{max}}=50\\ \mathrm{m}.
e) t=10\\ \mathrm{s}.