Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(20 t,-2 t^{2}+20 t\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=1 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima (para t>0 ).
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo (y=0).

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano como a função vetorial
\boldsymbol{r}(t)=\bigl(20\,t,\;-2\,t^{2}+20\,t\bigr),
com t em segundos e \boldsymbol{r} em metros. As perguntas são:
a) Calcular a velocidade e a aceleração em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=1\\ \mathrm{s}.
c) Determinar o instante t>0 em que a partícula atinge a altura máxima.
d) Calcular a altura máxima y_{\text{max}}.
e) Determinar o instante em que a partícula bate no solo ( y=0).
Informações relevantes extraídas do enunciado: a componente x da posição é x(t)=20\,t e a componente y da posição é y(t)=-2\,t^{2}+20\,t.

Passo 2

Entendendo a velocidade: a velocidade instantânea \boldsymbol{v}(t) é a derivada temporal da posição, isto é \boldsymbol{v}(t)=\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}. Para funções vetoriais, derivamos componente a componente. Vou aplicar a regra do poder: \dfrac{d}{dt}(t^n)=n\,t^{n-1} e a derivada de a\,t é a.
Derivando as componentes:
x(t)=20\,t \quad\Rightarrow\quad \dfrac{dx}{dt}=20.
y(t)=-2\,t^{2}+20\,t \quad\Rightarrow\quad \dfrac{dy}{dt}=-4\,t+20.
Portanto a velocidade é
\boldsymbol{v}(t)=\bigl(20,\;-4\,t+20\bigr).
Unidades: \boldsymbol{v}(t) está em \mathrm{m/s}.

Passo 3

Entendendo a aceleração: a aceleração instantânea \boldsymbol{a}(t) é a derivada temporal da velocidade, \boldsymbol{a}(t)=\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}}. Novamente derivamos componente a componente.
Derivando \boldsymbol{v}(t)=\bigl(20,\;-4\,t+20\bigr):
\dfrac{d}{dt}(20)=0,
\dfrac{d}{dt}(-4\,t+20)=-4.
Portanto a aceleração é
\boldsymbol{a}(t)=\bigl(0,\;-4\bigr).
Unidades: \mathrm{m/s^{2}}. Interpretação rápida: aceleração vertical constante para baixo com magnitude 4\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Velocidade média entre t_{0}=0 e t_{1}=1: a definição é
\overline{\boldsymbol{v}}=\dfrac{\boldsymbol{r}(t_{1})-\boldsymbol{r}(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}.
Calculando \boldsymbol{r}(0) e \boldsymbol{r}(1):
\boldsymbol{r}(0)=\bigl(20\cdot 0,\;-2\cdot 0^{2}+20\cdot 0\bigr)=(0,0).
\boldsymbol{r}(1)=\bigl(20\cdot 1,\;-2\cdot 1^{2}+20\cdot 1\bigr)=(20,\;18).
Agora a média:
\overline{\boldsymbol{v}}=\dfrac{(20,18)-(0,0)}{1-0}=(20,18).
Unidades: \mathrm{m/s}. Interpretação: no intervalo 0\to1\\ \mathrm{s} a velocidade média tem componente 20\\ \mathrm{m/s} em x e 18\\ \mathrm{m/s} em y.

Passo 5

Aceleração média entre t=0 e t=1: definição
\overline{\boldsymbol{a}}=\dfrac{\boldsymbol{v}(1)-\boldsymbol{v}(0)}{1-0}.
Calculando \boldsymbol{v}(0) e \boldsymbol{v}(1) a partir de \boldsymbol{v}(t)=\bigl(20,\;-4\,t+20\bigr):
\boldsymbol{v}(0)=(20,20),
\boldsymbol{v}(1)=(20,16).
Então
\overline{\boldsymbol{a}}=\dfrac{(20,16)-(20,20)}{1}=(0,-4).
Unidades: \mathrm{m/s^{2}}. Observação: aqui a aceleração média coincide com a aceleração instantânea porque a aceleração é constante.

Passo 6

Instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima: a altura é dada por y(t)=-2\,t^{2}+20\,t. Um máximo ocorre quando a velocidade vertical é zero, isto é quando \dfrac{dy}{dt}=0. Já calculamos \dfrac{dy}{dt}=-4\,t+20. Igualando a zero:
-4\,t+20=0 \quad\Rightarrow\quad -4\,t=-20 \quad\Rightarrow\quad t=5\\ \text{s}.
Justificativa: a aceleração vertical é negativa constante ( -4), então a velocidade vertical passa por zero no pico; essa condição identifica o tempo do máximo. Como o enunciado pede t>0, usamos t=5\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Altura máxima y_{\text{max}}: avaliamos y(t) em t=5:
y(5)=-2\cdot(5)^{2}+20\cdot 5=-2\cdot 25+100=-50+100=50.
Portanto y_{\text{max}}=50\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Instante em que a partícula bate no solo ( y=0): resolver a equação
-2\,t^{2}+20\,t=0.
Fatorando:
-2\,t(t-10)=0.
As soluções são t=0 e t=10. t=0 é o instante inicial; para o instante posterior t>0 temos t=10\\ \mathrm{s}. Interpretação física: a partícula sobe até t=5\\ \mathrm{s} e volta ao solo em t=10\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) \boldsymbol{v}(t)=\bigl(20,\;-4\,t+20\bigr), \boldsymbol{a}(t)=\bigl(0,\;-4\bigr).
b) \overline{\boldsymbol{v}}=(20,18)\\ \mathrm{m/s}, \overline{\boldsymbol{a}}=(0,-4)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
c) t=5\\ \mathrm{s}.
d) y_{\text{max}}=50\\ \mathrm{m}.
e) t=10\\ \mathrm{s}.

Exercícios relacionados