Um cabo coaxial longo consiste em um cilindro interno condutor de raio a\) e um cilindro externo condutor coaxial com raio interno \(b\) e raio externo \(c\). O cilindro externo está apoiado em suportes isolantes e não possui nenhuma carga líquida. O cilindro interno possui uma carga por unidade de comprimento uniforme \(\lambda\). Sendo \(r\) a distância axial em relação ao eixo dos cilindros, no Ex. 3 da Lista 3 obteve-se \(\vec{E}\) em cada região
\[\vec{E}(r)= \begin{cases}\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r} \hat{r}, & \text { se } a<r<b \text { ou } r>c \\\ \overrightarrow{0}, & \text { se } r \leq a \text { ou } b \leq r \leq c\end{cases}
a) Calcule o potencial elétrico em cada região, tomando como referência V(r=a)=0\].
b) Esboce um gráfico de \(V(r) em função de r e confronte com o gráfico de E(r) em função de r, considerando b=2 a e c=4 a.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular o potencial elétrico em cada região radial do cabo coaxial tomando como referência [V(r=a)=0).
Esboçar (descrever) o gráfico de V(r) em função de r e confrontá-lo com o gráfico de E(r) para os parâmetros b=2a e c=4a.
Informações dadas e condições importantes:
O campo elétrico radial é dado por
\vec{E}(r)= \begin{cases}\dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}\,\hat{r}, & \text{se } a<r<b \text{ ou } r>c,\\[6pt] \overrightarrow{0}, & \text{se } r\le a \text{ ou } b\le r\le c.\end{cases}
\]
- A referência é \(V(r=a)=0.
- Condutores são equipotenciais (ou seja, dentro de um condutor E=0 e V é constante).
- Temos simetria cilíndrica: V depende apenas de r e \vec{E} é radial.]
Passo 2
Relembrando a relação entre campo e potencial numa situação com simetria radial:
Em coordenadas cilíndricas, com simetria axial e \vec{E}(r)=E_r(r)\,\hat{r}, a relação diferencial é
E_r(r) = -\frac{dV}{dr}.
Explicação didática: E aponta radialmente; o potencial varia apenas com r. A equação acima vem de \vec{E}=-\nabla V. Para obter V(r) conhecendo E_r(r) integra-se dV = -E_r(r)\,dr. O resultado ficará definido à constante de integração, que fixamos com a condição V(a)=0.
Passo 3
Potencial em r\le a (dentro do condutor interno).
Como dado, \vec{E}=\overrightarrow{0} para r\le a. Em um condutor em equilíbrio eletrostático E=0 implica que o potencial é constante. Como foi fixado V(a)=0, temos imediatamente
V(r)=0\quad\text{para } r\le a.
Comentário: é a mesma constante em todo o interior do condutor interno.
Passo 4
Potencial na região a<r<b (região entre o condutor interno e a superfície interna do condutor externo).
Aqui \vec{E}(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\hat{r}. Usamos E_r=-dV/dr. Então
Explicação do passo integral: a primitiva de 1/r' é \ln r'. Ao avaliar de a a r aparece \ln r - \ln a = \ln(r/a). O sinal negativo preserva que o potencial decresce para fora quando \lambda>0.
Passo 5
Potencial na região do próprio material do condutor externo, b\le r\le c.
No condutor externo \vec{E}=\overrightarrow{0}, logo o potencial é constante em todo o intervalo b\le r\le c. Essa constante é igual ao valor do potencial imediatamente na interface r=b. Portanto
V(r)=V(b)\quad\text{para } b\le r\le c.
Usando a expressão encontrada no Passo 4 para V(b),
V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) \quad\text{para } b\le r\le c.
Comentário: condutores são equipotenciais; não há descontinuidade do potencial ao cruzar a superfície condutora (potencial é contínuo), apesar de E saltar.
Passo 6
Potencial para r>c (fora do cilindro externo).
Para r>c temos novamente \vec{E}(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\hat{r}. Integramos desde a até um r>c, tomando em conta que em b\le r'\le cE=0. Assim
que é exatamente o valor em b\le r\le c, portanto V é contínuo em r=c.
Passo 7
Resumo final (expressão peça a peça) do potencial com a referência V(a)=0\).
\(\)
\[V(r)= \begin{cases} 0, & \text{se } r\le a,\\[6pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right), & \text{se } a<r<b,\\[10pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right), & \text{se } b\le r\le c,\\[10pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b\,r}{a\,c}\right), & \text{se } r>c. \end{cases}
\]
Comentário didático: note que \(V é contínuo em todas as fronteiras, mas E pode ter saltos nas superfícies dos condutores (saltos relacionados à densidade de carga superficial induzida).]
Passo 8
Parte (b): caso específico b=2a e c=4a. Substituindo na fórmula:
Valores de referência: em r=b=2a e r=c=4a temos V=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln 2.
Passo 9
Descrição do esboço e confronto V(r) vs E(r) (comportamento e relação).
Gráfico de V(r) (para b=2a,\;c=4a): começa em V=0 constante para r\le a; para a<r<2a decai logaritmicamente segundo -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln(r/a) até atingir -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln 2 em r=2a; entre 2a e 4a é plano (constante); para r>4a volta a decrescer logaritmicamente como -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln(r/2a), tendendo a -\infty com r\to\infty.
Gráfico de E(r): é nulo para r\le a, tem valor \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} para a<r<b (ou seja, cai como 1/r nessa janela), é nulo novamente para b\le r\le c, e volta para \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} para r>c (decrescendo como 1/r).
Confronto e relação: E_r(r)=-dV/dr. Onde E\neq 0 (nas fendas a<r<b e r>c), V(r) tem inclinação negativa cujo módulo é exatamente E_r(r). Nas regiões condutoras (r\le a e b\le r\le c) E=0 e V é plano. O potencial é contínuo nas fronteiras enquanto o campo pode pular, refletindo cargas superficiais induzidas.