Um cabo coaxial longo consiste em um cilindro interno condutor de raio a\) e um cilindro externo condutor coaxial com raio interno \(b\) e raio externo \(c\). O cilindro externo está apoiado em suportes isolantes e não possui nenhuma carga líquida. O cilindro interno possui uma carga por unidade de comprimento uniforme \(\lambda\). Sendo \(r\) a distância axial em relação ao eixo dos cilindros, no Ex. 3 da Lista 3 obteve-se \(\vec{E}\) em cada região \[\vec{E}(r)= \begin{cases}\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r} \hat{r}, & \text { se } a<r<b \text { ou } r>c \\\ \overrightarrow{0}, & \text { se } r \leq a \text { ou } b \leq r \leq c\end{cases}
a) Calcule o potencial elétrico em cada região, tomando como referência V(r=a)=0\]. b) Esboce um gráfico de \(V(r) em função de r e confronte com o gráfico de E(r) em função de r, considerando b=2 a e c=4 a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o potencial elétrico em cada região radial do cabo coaxial tomando como referência [V(r=a)=0).
  2. Esboçar (descrever) o gráfico de V(r) em função de r e confrontá-lo com o gráfico de E(r) para os parâmetros b=2a e c=4a.
Informações dadas e condições importantes:
  • O campo elétrico radial é dado por
\vec{E}(r)= \begin{cases}\dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}\,\hat{r}, & \text{se } a<r<b \text{ ou } r>c,\\[6pt] \overrightarrow{0}, & \text{se } r\le a \text{ ou } b\le r\le c.\end{cases}
\] - A referência é \(V(r=a)=0.
- Condutores são equipotenciais (ou seja, dentro de um condutor E=0 e V é constante).
- Temos simetria cilíndrica: V depende apenas de r e \vec{E} é radial.]

Passo 2

Relembrando a relação entre campo e potencial numa situação com simetria radial:
  • Em coordenadas cilíndricas, com simetria axial e \vec{E}(r)=E_r(r)\,\hat{r}, a relação diferencial é
E_r(r) = -\frac{dV}{dr}.

Explicação didática: E aponta radialmente; o potencial varia apenas com r. A equação acima vem de \vec{E}=-\nabla V. Para obter V(r) conhecendo E_r(r) integra-se dV = -E_r(r)\,dr. O resultado ficará definido à constante de integração, que fixamos com a condição V(a)=0.

Passo 3

Potencial em r\le a (dentro do condutor interno).
  • Como dado, \vec{E}=\overrightarrow{0} para r\le a. Em um condutor em equilíbrio eletrostático E=0 implica que o potencial é constante. Como foi fixado V(a)=0, temos imediatamente
V(r)=0\quad\text{para } r\le a.

Comentário: é a mesma constante em todo o interior do condutor interno.

Passo 4

Potencial na região a<r<b (região entre o condutor interno e a superfície interna do condutor externo).
  • Aqui \vec{E}(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\hat{r}. Usamos E_r=-dV/dr. Então
-\frac{dV}{dr}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
  • Integramos entre r'=a (onde V=0) e um raio genérico r nessa região:
V(r)-V(a) = -\int_{a}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r'}\,dr'.
  • Como V(a)=0 e \int_{a}^{r}\frac{dr'}{r'}=\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right), obtemos
V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{a}\right) \quad\text{para } a<r<b.

Explicação do passo integral: a primitiva de 1/r' é \ln r'. Ao avaliar de a a r aparece \ln r - \ln a = \ln(r/a). O sinal negativo preserva que o potencial decresce para fora quando \lambda>0.

Passo 5

Potencial na região do próprio material do condutor externo, b\le r\le c.
  • No condutor externo \vec{E}=\overrightarrow{0}, logo o potencial é constante em todo o intervalo b\le r\le c. Essa constante é igual ao valor do potencial imediatamente na interface r=b. Portanto
V(r)=V(b)\quad\text{para } b\le r\le c.
  • Usando a expressão encontrada no Passo 4 para V(b),
V(b) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  • Logo
V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) \quad\text{para } b\le r\le c.

Comentário: condutores são equipotenciais; não há descontinuidade do potencial ao cruzar a superfície condutora (potencial é contínuo), apesar de E saltar.

Passo 6

Potencial para r>c (fora do cilindro externo).
  • Para r>c temos novamente \vec{E}(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\hat{r}. Integramos desde a até um r>c, tomando em conta que em b\le r'\le c E=0. Assim
V(r)-V(a) = -\left(\int_{a}^{b}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r'}\,dr' + \int_{b}^{c}0\,dr' + \int_{c}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r'}\,dr'\right).
  • Avaliando os logs:
V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\Bigg[\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) + \ln\!\left(\frac{r}{c}\right)\Bigg] = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b\,r}{a\,c}\right) \quad\text{para } r>c.

Verificação rápida de continuidade: para r=c a expressão dá
V\text{(c)} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right),
que é exatamente o valor em b\le r\le c, portanto V é contínuo em r=c.

Passo 7

Resumo final (expressão peça a peça) do potencial com a referência V(a)=0\). \(\) \[V(r)= \begin{cases} 0, & \text{se } r\le a,\\[6pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right), & \text{se } a<r<b,\\[10pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right), & \text{se } b\le r\le c,\\[10pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b\,r}{a\,c}\right), & \text{se } r>c. \end{cases}
\] Comentário didático: note que \(V é contínuo em todas as fronteiras, mas E pode ter saltos nas superfícies dos condutores (saltos relacionados à densidade de carga superficial induzida).]

Passo 8

Parte (b): caso específico b=2a e c=4a. Substituindo na fórmula:
  • Para r\le a:
V(r)=0.
  • Para a<r<2a:
V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{a}\right).
  • Para 2a\le r\le 4a:
V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!2.
  • Para r>4a:
V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{2a}\right).

Valores de referência: em r=b=2a e r=c=4a temos V=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln 2.

Passo 9

Descrição do esboço e confronto V(r) vs E(r) (comportamento e relação).
  • Gráfico de V(r) (para b=2a,\;c=4a): começa em V=0 constante para r\le a; para a<r<2a decai logaritmicamente segundo -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln(r/a) até atingir -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln 2 em r=2a; entre 2a e 4a é plano (constante); para r>4a volta a decrescer logaritmicamente como -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln(r/2a), tendendo a -\infty com r\to\infty.
  • Gráfico de E(r): é nulo para r\le a, tem valor \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} para a<r<b (ou seja, cai como 1/r nessa janela), é nulo novamente para b\le r\le c, e volta para \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} para r>c (decrescendo como 1/r).
  • Confronto e relação: E_r(r)=-dV/dr. Onde E\neq 0 (nas fendas a<r<b e r>c), V(r) tem inclinação negativa cujo módulo é exatamente E_r(r). Nas regiões condutoras ( r\le a e b\le r\le c) E=0 e V é plano. O potencial é contínuo nas fronteiras enquanto o campo pode pular, refletindo cargas superficiais induzidas.

Resposta

V(r)= \begin{cases} 0, & \text{se } r\le a,\\[6pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right), & \text{se } a<r<b,\\[10pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right), & \text{se } b\le r\le c,\\[10pt] -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b\,r}{a\,c}\right), & \text{se } r>c. \end{cases}
Para b=2a e c=4a:
\begin{cases} V(r)=0, & r\le a,\\[4pt] V(r)=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right), & a<r<2a,\\[6pt] V(r)=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln 2, & 2a\le r\le 4a,\\[6pt] V(r)=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{r}{2a}\right), & r>4a. \end{cases}]

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