Uma esfera condutora sólida de raio a\) possui carga \(q\). Ela está no interior de uma esfera condutora oca concêntrica, com raio interno \(b\) e raio externo \(c\). A esfera condutora oca não possui nenhuma carga líquida. Sendo \(r\) a distância radial em relação ao centro da esfera, no Ex. 4 da Lista 4 obteve-se \(\vec{E}\) em cada região
\[\vec{E}(r)= \begin{cases}\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \hat{r}, & \text { se } a<r<b \text { ou } r>c \\\ \overrightarrow{0}, & \text { se } r \leq a \text { ou } b \leq r \leq c\end{cases}
a) Calcule o potencial elétrico em cada região, tomando como referência V(r \rightarrow \infty)=0\].
b) Esboce um gráfico de \(V(r) em função de r e confronte com o gráfico de E(r) em função de r, considerando b=2 a e c=4 a.
Passo 1
O enunciado dá a configuração e pede duas coisas. Vou listar com calma o que temos e o que se pede:
Informações dadas:
Uma esfera condutora sólida de raio a\) tem carga \(q\).
- Há uma casca esférica condutora concêntrica (mesmo centro) com raio interno \(b\) e raio externo \(c\).
- A casca condutora oca não possui carga líquida (ou seja, carga total da casca é zero), mas haverá cargas induzidas nas superfícies internas e externas.
- O campo elétrico radial resultado, obtido no exercício citado, é
\[\vec{E}(r)= \begin{cases}\dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \,\hat{r}, & \text{se } a<r<b \text{ ou } r>c,\\[6pt] \overrightarrow{0}, & \text{se } r \le a \text{ ou } b \le r \le c. \end{cases}
A referência escolhida para o potencial é (V(r\to\infty)=0].
O que o enunciado pede:
a) Calcular o potencial elétrico V(r) em cada região (usar V(\infty)=0).
b) Fazer um esboço qualitativo de V(r) versus r e confrontar com o gráfico de E(r), para o caso numérico b=2a e c=4a.
A resolução começa a seguir.]
Passo 2
Conceitos e fórmula básica que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
O potencial elétrico escalar V(\mathbf{r}) e o campo elétrico \vec{E}(\mathbf{r}) estão relacionados pela integral de linha:
Isto significa: para obter a diferença de potencial entre dois pontos, integramos o campo ao longo de um caminho que une esses pontos; para campos eletrostáticos conservativos, o resultado independe do caminho.
Para campos radiais (função só de r e dirigido em \hat r) usamos
V(r)-V(r_0) = -\int_{r_0}^{r} E(r')\, dr',
onde E(r') é o módulo de \vec E (positivo se aponta radialmente para fora) e dr' é a variação radial; note que \vec E\cdot d\vec \ell = E(r')\, dr' quando o deslocamento é radial.
Nós tomamos V(\infty)=0, então
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E(r')\, dr'.
Na prática, porque o campo é fornecido peça a peça, vamos quebrar a integral em trechos apropriados. Alternativamente, para o caso de superfícies esféricas concêntricas, também é útil lembrar o princípio da superposição: o potencial em um ponto é soma dos potenciais gerados por cada distribuição de carga (cada esfera/superfície).
Propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático úteis:
O campo elétrico dentro do material condutor é \vec E=\vec 0. Logo o potencial é constante em cada região condutora (não variável com r dentro do condutor).
Superfícies condutoras esféricas carregadas uniformemente produzem, no exterior, o mesmo campo/potencial que uma carga pontual no centro; no interior da casca (para pontos com r menor que o raio da casca) a contribuição de uma casca esférica carregada uniformemente é constante (igual ao potencial na superfície da casca).
Com essas ideias claras, vamos calcular V(r) peça a peça.
Passo 3
Região r>c (fora de tudo). Aqui o campo é o de uma carga q localizada efetivamente no centro:
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad (r>c).
Usamos a fórmula do potencial com referência no infinito:
Região b\le r\le c (dentro do material da casca condutora; ou seja, no condutor oco). Como o campo é dado como \vec E=\vec 0 nessa região, a variação do potencial ao atravessar essa região é zero: o potencial é constante em todo b\le r\le c. Portanto o valor de V nessa região é o mesmo que o valor em r=c, que já calculamos no passo anterior:
Explicação física curta (didática): a casca condutora tem cargas induzidas tais que o campo dentro do metal é zero; por isso o potencial não muda atravessando o metal.
Passo 5
Região a<r<b (entre a esfera sólida carregada e a parede interna da casca oca). Aqui o campo é
Comentário físico-didático: essa expressão pode ser vista como superposição: potencial devido à carga q na esfera sólida (q/(4\pi\varepsilon_0 r)) mais as contribuições constantes das superfícies da casca (que aparecem como termos constantes -q/(4\pi\varepsilon_0 b) e +q/(4\pi\varepsilon_0 c)).
Passo 6
Região r\le a (dentro da esfera condutora sólida). No interior do condutor sólido o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao valor no seu limite r=a. Avaliamos V(a) usando a fórmula do passo anterior com r=a:
Verificação rápida: as quatro fórmulas são contínuas em r=a, r=b e r=c (o potencial deve ser contínuo), e as descontinuidades no campo E nas superfícies correspondem a densidades de carga superficial.
Passo 7
Parte (b): esboço do gráfico e confronto com E(r), para o caso numérico b=2a e c=4a. Vou simplificar as expressões mostrando valores relativos para facilitar o esboço qualitativo.
Primeiro, simplifico as constantes usando b=2a e c=4a.
Para r\le a: V constante em \dfrac{3q}{16\pi\varepsilon_0 a}.
Em r=a começa a região a<r<2a: V(r) cai conforme a expressão \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{4a}\big) até atingir em r=2a o valor \dfrac{q}{16\pi\varepsilon_0 a}.
Entre 2a e 4aV é plano (constante) com valor \dfrac{q}{16\pi\varepsilon_0 a}.
Para r>4aV decai como 1/r partindo do valor \dfrac{q}{16\pi\varepsilon_0 a} em r=4a e tendendo a zero quando r\to\infty.
Confronto com E(r):
Onde E(r)=0 (ou seja, r\le a e 2a\le r\le 4a), o gráfico de V(r) é horizontal (derivada nula) — coerente com E=-dV/dr.
Onde E(r)\neq 0 (ou seja, a<r<2a e r>4a), V(r) decresce com r; nos dois trechos a inclinação (sinal de -dV/dr) corresponde ao módulo do campo E(r)=q/(4\pi\varepsilon_0 r^2). Na transição entre trechos, V permanece contínuo mas a derivada muda (salto no valor de E) por causa das cargas superficiais nas superfícies esféricas.
Em termos de forma: E(r) tem picos (não infinitos, mas mudanças) do tipo 0 \to q/(4\pi\varepsilon_0 r^2) em r=a^+, volta a 0 em r=b^- etc; enquanto V(r) é contínuo e mostra planos horizontais nas regiões condutoras e curvatura (decaimento como 1/r) nas regiões com campo.
Se você for desenhar: comece em r=0 com V constante em 3q/(16\pi\varepsilon_0 a), traçe uma curva decrescente entre a e 2a que chega a q/(16\pi\varepsilon_0 a) em 2a, mantenha linha horizontal até 4a, e daí caia como 1/r até zero. O gráfico de E(r) tem zeros nas mesmas faixas horizontais e curvas ~1/r^2 nas faixas com campo.
(b) Para b=2a\) e \(c=4a\): \(V(r)\) vale
\[V(r)=\begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r}, & r>4a,\\[6pt] \dfrac{q}{16\pi\varepsilon_0 a}, & 2a\le r\le 4a,\\[6pt] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{4a}\Big), & a<r<2a,\\[6pt] \dfrac{3q}{16\pi\varepsilon_0 a}, & r\le a. \end{cases}
Gráfico: V(r)\] é constante para \(r\le a, decresce no intervalo a<r<2a, é constante entre 2a e 4a, e decai como 1/r para r>4a. Isso coincide com E(r)=-dV/dr: onde E=0 (regiões condutoras) V é plano; onde E\neq0V tem inclinação correspondente ao módulo E(r)=q/(4\pi\varepsilon_0 r^2).]