Uma esfera condutora sólida de raio a\) possui carga \(q\). Ela está no interior de uma esfera condutora oca concêntrica, com raio interno \(b\) e raio externo \(c\). A esfera condutora oca não possui nenhuma carga líquida. Sendo \(r\) a distância radial em relação ao centro da esfera, no Ex. 4 da Lista 4 obteve-se \(\vec{E}\) em cada região \[\vec{E}(r)= \begin{cases}\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \hat{r}, & \text { se } a<r<b \text { ou } r>c \\\ \overrightarrow{0}, & \text { se } r \leq a \text { ou } b \leq r \leq c\end{cases}
a) Calcule o potencial elétrico em cada região, tomando como referência V(r \rightarrow \infty)=0\]. b) Esboce um gráfico de \(V(r) em função de r e confronte com o gráfico de E(r) em função de r, considerando b=2 a e c=4 a.

Passo 1

O enunciado dá a configuração e pede duas coisas. Vou listar com calma o que temos e o que se pede:
  • Informações dadas:
    • Uma esfera condutora sólida de raio a\) tem carga \(q\). - Há uma casca esférica condutora concêntrica (mesmo centro) com raio interno \(b\) e raio externo \(c\). - A casca condutora oca não possui carga líquida (ou seja, carga total da casca é zero), mas haverá cargas induzidas nas superfícies internas e externas. - O campo elétrico radial resultado, obtido no exercício citado, é \[\vec{E}(r)= \begin{cases}\dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \,\hat{r}, & \text{se } a<r<b \text{ ou } r>c,\\[6pt] \overrightarrow{0}, & \text{se } r \le a \text{ ou } b \le r \le c. \end{cases}
    • A referência escolhida para o potencial é (V(r\to\infty)=0].
  • O que o enunciado pede:
    a) Calcular o potencial elétrico V(r) em cada região (usar V(\infty)=0).
    b) Fazer um esboço qualitativo de V(r) versus r e confrontar com o gráfico de E(r), para o caso numérico b=2a e c=4a.
A resolução começa a seguir.]

Passo 2

Conceitos e fórmula básica que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • O potencial elétrico escalar V(\mathbf{r}) e o campo elétrico \vec{E}(\mathbf{r}) estão relacionados pela integral de linha:
V(\mathbf{r})-V(\mathbf{r}_0) = -\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
Isto significa: para obter a diferença de potencial entre dois pontos, integramos o campo ao longo de um caminho que une esses pontos; para campos eletrostáticos conservativos, o resultado independe do caminho.
  • Para campos radiais (função só de r e dirigido em \hat r) usamos
V(r)-V(r_0) = -\int_{r_0}^{r} E(r')\, dr',
onde E(r') é o módulo de \vec E (positivo se aponta radialmente para fora) e dr' é a variação radial; note que \vec E\cdot d\vec \ell = E(r')\, dr' quando o deslocamento é radial.
  • Nós tomamos V(\infty)=0, então
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E(r')\, dr'.
Na prática, porque o campo é fornecido peça a peça, vamos quebrar a integral em trechos apropriados. Alternativamente, para o caso de superfícies esféricas concêntricas, também é útil lembrar o princípio da superposição: o potencial em um ponto é soma dos potenciais gerados por cada distribuição de carga (cada esfera/superfície).
  • Propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático úteis:
    1. O campo elétrico dentro do material condutor é \vec E=\vec 0. Logo o potencial é constante em cada região condutora (não variável com r dentro do condutor).
    2. Superfícies condutoras esféricas carregadas uniformemente produzem, no exterior, o mesmo campo/potencial que uma carga pontual no centro; no interior da casca (para pontos com r menor que o raio da casca) a contribuição de uma casca esférica carregada uniformemente é constante (igual ao potencial na superfície da casca).
Com essas ideias claras, vamos calcular V(r) peça a peça.

Passo 3

Região r>c (fora de tudo). Aqui o campo é o de uma carga q localizada efetivamente no centro:
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad (r>c).
Usamos a fórmula do potencial com referência no infinito:
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\, dr'.
Calcule a integral (mostrando cada passo):
\int \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\, dr' = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int r'^{-2}\,dr' = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{r'}\right).
Avaliando de r'=\infty até r' = r:
-\int_{\infty}^{r} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\, dr' = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{r}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}.
Como V(\infty)=0, obtemos
\boxed{V(r)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r},\qquad r>c.}

Passo 4

Região b\le r\le c (dentro do material da casca condutora; ou seja, no condutor oco). Como o campo é dado como \vec E=\vec 0 nessa região, a variação do potencial ao atravessar essa região é zero: o potencial é constante em todo b\le r\le c. Portanto o valor de V nessa região é o mesmo que o valor em r=c, que já calculamos no passo anterior:
\boxed{V(r)=V\text{(c)}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 c},\qquad b\le r\le c.}
Explicação física curta (didática): a casca condutora tem cargas induzidas tais que o campo dentro do metal é zero; por isso o potencial não muda atravessando o metal.

Passo 5

Região a<r<b (entre a esfera sólida carregada e a parede interna da casca oca). Aqui o campo é
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad (a<r<b).
Para calcular V(r) com referência V(\infty)=0 fazemos a integral quebrada porque E não é a mesma para todos os r':
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr' = -\left(\int_{\infty}^{c} E(r')\,dr' + \int_{c}^{b} E(r')\,dr' + \int_{b}^{r} E(r')\,dr'\right).
Agora substituímos E(r') em cada trecho:
  • Para \infty até c: E(r')=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}.
  • Para c até b: E(r')=0 (condutor).
  • Para b até r (lembre que aqui r<b): E novamente \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}.
Calcule cada integral passo a passo:
\int_{\infty}^{c} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\,dr' = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{c} = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 c}.
\int_{c}^{b} 0\,dr' = 0.
\int_{b}^{r} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\,dr' = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r'}\right]_{b}^{r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{r}+\frac{1}{b}\right).
Somando e lembrando do sinal negativo exterior:
V(r) = -\left(-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 c} + 0 + \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{r}+\frac{1}{b}\right)\right).
Simplificando:
V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 c} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).
Portanto:
\boxed{V(r)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big),\qquad a<r<b.}
Comentário físico-didático: essa expressão pode ser vista como superposição: potencial devido à carga q na esfera sólida ( q/(4\pi\varepsilon_0 r)) mais as contribuições constantes das superfícies da casca (que aparecem como termos constantes -q/(4\pi\varepsilon_0 b) e +q/(4\pi\varepsilon_0 c)).

Passo 6

Região r\le a (dentro da esfera condutora sólida). No interior do condutor sólido o campo é zero, então o potencial é constante e igual ao valor no seu limite r=a. Avaliamos V(a) usando a fórmula do passo anterior com r=a:
V(a)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).
Logo, para todo r\le a,
\boxed{V(r)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big),\qquad r\le a.}
Verificação rápida: as quatro fórmulas são contínuas em r=a, r=b e r=c (o potencial deve ser contínuo), e as descontinuidades no campo E nas superfícies correspondem a densidades de carga superficial.

Passo 7

Parte (b): esboço do gráfico e confronto com E(r), para o caso numérico b=2a e c=4a. Vou simplificar as expressões mostrando valores relativos para facilitar o esboço qualitativo.
  • Primeiro, simplifico as constantes usando b=2a e c=4a.
Valores das constantes:
\frac{1}{b}=\frac{1}{2a},\qquad \frac{1}{c}=\frac{1}{4a}.
  • Potencial nas regiões específicas:
    • Para r>c (ou r>4a):
    V(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\quad\text{(decai como }1/r\text{)}.
    • Para b\le r\le c (ou 2a\le r\le 4a):
    V(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 c}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\cdot 4a}=\frac{q}{16\pi\varepsilon_0 a}\quad\text{(constante)}.
    • Para a<r<b (ou a<r<2a):
    V(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{r}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{4a}\Big) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{r}-\frac{1}{4a}\Big).
    Essa é uma curva que decai com 1/r mas com um deslocamento negativo constante (ou seja, é da forma q/(4\pi\varepsilon_0 r) menos uma constante).
    • Para r\le a:
    V(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{a}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{4a}\Big) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{3}{4a}=\frac{3q}{16\pi\varepsilon_0 a}\quad\text{(constante)}.
  • Forma qualitativa do gráfico V(r):
    • Para r\le a: V constante em \dfrac{3q}{16\pi\varepsilon_0 a}.
    • Em r=a começa a região a<r<2a: V(r) cai conforme a expressão \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{4a}\big) até atingir em r=2a o valor \dfrac{q}{16\pi\varepsilon_0 a}.
    • Entre 2a e 4a V é plano (constante) com valor \dfrac{q}{16\pi\varepsilon_0 a}.
    • Para r>4a V decai como 1/r partindo do valor \dfrac{q}{16\pi\varepsilon_0 a} em r=4a e tendendo a zero quando r\to\infty.
  • Confronto com E(r):
    • Onde E(r)=0 (ou seja, r\le a e 2a\le r\le 4a), o gráfico de V(r) é horizontal (derivada nula) — coerente com E=-dV/dr.
    • Onde E(r)\neq 0 (ou seja, a<r<2a e r>4a), V(r) decresce com r; nos dois trechos a inclinação (sinal de -dV/dr) corresponde ao módulo do campo E(r)=q/(4\pi\varepsilon_0 r^2). Na transição entre trechos, V permanece contínuo mas a derivada muda (salto no valor de E) por causa das cargas superficiais nas superfícies esféricas.
    • Em termos de forma: E(r) tem picos (não infinitos, mas mudanças) do tipo 0 \to q/(4\pi\varepsilon_0 r^2) em r=a^+, volta a 0 em r=b^- etc; enquanto V(r) é contínuo e mostra planos horizontais nas regiões condutoras e curvatura (decaimento como 1/r) nas regiões com campo.
Se você for desenhar: comece em r=0 com V constante em 3q/(16\pi\varepsilon_0 a), traçe uma curva decrescente entre a e 2a que chega a q/(16\pi\varepsilon_0 a) em 2a, mantenha linha horizontal até 4a, e daí caia como 1/r até zero. O gráfico de E(r) tem zeros nas mesmas faixas horizontais e curvas ~1/r^2 nas faixas com campo.

Resposta

(a)
V(r)= \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r}, & r>c,\\[8pt] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,c}, & b\le r\le c,\\[8pt] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big), & a<r<b,\\[8pt] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big), & r\le a. \end{cases}
(b) Para b=2a\) e \(c=4a\): \(V(r)\) vale \[V(r)=\begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r}, & r>4a,\\[6pt] \dfrac{q}{16\pi\varepsilon_0 a}, & 2a\le r\le 4a,\\[6pt] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{4a}\Big), & a<r<2a,\\[6pt] \dfrac{3q}{16\pi\varepsilon_0 a}, & r\le a. \end{cases}
Gráfico: V(r)\] é constante para \(r\le a, decresce no intervalo a<r<2a, é constante entre 2a e 4a, e decai como 1/r para r>4a. Isso coincide com E(r)=-dV/dr: onde E=0 (regiões condutoras) V é plano; onde E\neq0 V tem inclinação correspondente ao módulo E(r)=q/(4\pi\varepsilon_0 r^2).]

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