Uma partícula move-se segundo a função posição
s(t)=t^{2}-6 t+8
onde s está em metros e t em segundos.
Determine a velocidade média no intervalo 2,4.

Passo 1

O enunciado dá a função posição s(t)=t^{2}-6t+8 com s em metros e t em segundos, e pede a velocidade média no intervalo [2,4].
Informações fornecidas:
  • s(t)=t^{2}-6t+8.
  • Intervalo de tempo: [2,4] segundos.
Pergunta a responder:
  • Qual é a velocidade média da partícula no intervalo [2,4] (em \text{m/s})?

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar.
A velocidade média \bar{v} em um intervalo de tempo [t_{1},t_{2}] é a variação da posição dividida pela variação do tempo:
\bar{v}=\frac{s(t_{2})-s(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui:
  • s(t_{1}) é a posição no instante inicial t_{1}.
  • s(t_{2}) é a posição no instante final t_{2}.
  • t_{2}-t_{1} é o intervalo de tempo decorrido.
    Fisicamente, \bar{v} representa a velocidade média (deslocamento por unidade de tempo) no intervalo — geometricamente, é a inclinação da reta secante ao gráfico de s(t) entre t_{1} e t_{2}.
No nosso caso, t_{1}=2 e t_{2}=4. Vamos calcular s(2) e s(4).

Passo 3

Calcular s(2). Substituindo t=2 em s(t)=t^{2}-6t+8:
s(2)=2^{2}-6\cdot 2+8.
Agora calcular passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 6\cdot2=12,
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s(2)=4-12+8.
Somando na ordem:
4-12=-8,\qquad -8+8=0.
Portanto s(2)=0\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular s(4). Substituindo t=4 em s(t)=t^{2}-6t+8:
s(4)=4^{2}-6\cdot 4+8.
Agora calcular:
4^{2}=16,\qquad 6\cdot4=24,
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s(4)=16-24+8.
Somando:
16-24=-8,\qquad -8+8=0.
Portanto s(4)=0\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade média usando a fórmula da Passo 2:
\bar{v}=\frac{s(4)-s(2)}{4-2}.
Substituindo os valores que encontramos:
\bar{v}=\frac{0-0}{2}=\frac{0}{2}.
Fazendo a divisão:
\bar{v}=0.
Lembrar das unidades: posição em metros e tempo em segundos, então a velocidade média tem unidade \text{m/s}.
Observação didática rápida: mesmo que a velocidade média seja \,0\\ \text{m/s}, a velocidade instantânea pode não ser zero em todos os instantes. Para ver isso, a derivada v(t)=s'(t)=2t-6 v(2)=-2\\ \text{m/s} e v(4)=2\\ \text{m/s} — ou seja, a partícula foi para um lado e depois para o outro, resultando deslocamento total zero no intervalo.

Resposta

0\\ \text{m/s}

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