Encontre a derivada da função:
y=e^{2 x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = e^{2x+1}
e pede que eu encontre a derivada dessa função em relação a x. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma exponencial com base e cujo expoente é a expressão linear 2x+1.
  • O que se pede é \dfrac{dy}{dx}, a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • A derivada da exponencial simples \,e^{t}\, em relação a t é ela mesma:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.
Significado das variáveis: t é uma variável qualquer (pode ser x, ou alguma função de x); e é a base do logaritmo natural — uma constante ( e\approx 2,718\ldots).
  • Quando temos uma composição de funções, isto é, y=f(g(x)), usa-se a regra da cadeia: derivada de f(g(x)) é f'(g(x))\cdot g'(x). Em palavras: deriva-se a função externa mantendo a interna como está, e multiplica-se pela derivada da função interna.
  • Aplicando isso ao caso y=e^{u(x)}, onde u(x) é o expoente, obtemos
\frac{dy}{dx}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Isto vem diretamente de combinar a derivada de e^{t} com a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: identifique a função interna (o expoente) e calcule sua derivada.
  • Defino u(x)=2x+1. Esta é a função cuja derivada vou precisar.
  • Calculo a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x+1\bigr)=2,
pois a derivada de 2x é 2 e a derivada de uma constante ( 1) é 0.

Passo 4

Agora uso a regra da cadeia para derivar y=e^{u(x)}:
\frac{dy}{dx}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=2x+1 e u'(x)=2, fica
\frac{dy}{dx}=e^{2x+1}\cdot 2.

Passo 5

Simplificando a expressão obtida:
\frac{dy}{dx}=2\,e^{2x+1}.
Comentário prático e atalho útil para a prova: para qualquer função da forma \,e^{ax+b}\, (com a,b constantes), a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{ax+b}\bigr)=a\,e^{ax+b}.
No nosso caso a=2 e b=1, então obtemos o mesmo resultado.

Resposta

\frac{dy}{dx}=2\,e^{2x+1}

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