Encontre a derivada da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu encontre a derivada dessa função em relação a
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma exponencial com base
cujo expoente é a expressão linear . - O que se pede é
, a taxa de variação de em relação a .
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
- A derivada da exponencial simples
em relação a é ela mesma:
Significado das variáveis:
é uma variável qualquer (pode ser
, ou alguma função de
);
é a base do logaritmo natural — uma constante (
).
- Quando temos uma composição de funções, isto é,
, usa-se a regra da cadeia: derivada de é . Em palavras: deriva-se a função externa mantendo a interna como está, e multiplica-se pela derivada da função interna. - Aplicando isso ao caso
, onde é o expoente, obtemos
Isto vem diretamente de combinar a derivada de
com a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: identifique a função interna (o expoente) e calcule sua derivada.
- Defino
. Esta é a função cuja derivada vou precisar. - Calculo a derivada de
:
pois a derivada de
é
e a derivada de uma constante (
) é
.
Passo 4
Agora uso a regra da cadeia para derivar
:
Substituindo
e
, fica
Passo 5
Simplificando a expressão obtida:
Comentário prático e atalho útil para a prova: para qualquer função da forma
(com
constantes), a derivada é
No nosso caso
e
, então obtemos o mesmo resultado.