Uma partícula se move sob a ação de uma força constante e conservativa dada pelo vetor:
F=(4,-2,3) N
Ela se desloca do ponto A(1,2,0) até o ponto B(4,5,6). Calcule o trabalho realizado por essa força ao longo desse deslocamento usando integrais e responda.
Ao utilizar integral nesse caso, seu significado matemático é o mesmo daquele estabelecido na questão 1)? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo: a gente tem uma força constante e conservativa
F = (4,,-2,,3),N
e a partícula vai do ponto
A(1,2,0)até B(4,5,6) é
O conteúdo aqui é Trabalho de uma força via integral de linha (Cálculo Vetorial). Vamos precisar lembrar o que é a integral de linha de um campo vetorial e como, no caso de força constante, ela vira um produto escalar simples.

Passo 2

Teoria básica: o trabalho W = integralC F,cdot,dr, realizado por uma força integralC dr = r(B) - r(A) ao longo de um caminho é
onde . Como é constante, podemos tirar ela para fora da integral e usar

Passo 3

Calculando o vetor deslocamento
r(B) - r(A) = (4-1,;5-2,;6-0) = (3,,3,,6)
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W = Fcdotl(r(B)-r(A)r) = (4,-2,3)cdot(3,3,6)

Passo 4

Fazendo o produto escalar
W = 4cdot 3 ;+; (-2)cdot3 ;+; 3cdot6 = 12 ;-;6 ;+;18 = 24;J

Passo 5

Sobre usar integral aqui: sim, o significado matemático é o mesmo da questão 1. É a mesma ideia de integral como limite de somas de “pedaços infinitesimais” de trabalho . A única diferença é que antes você pode ter integrado uma função escalar em relação a uma variável, e aqui é uma integral de linha de um campo vetorial, mas a base teórica (Riemann, soma de infinitésimos) é igual.

Resposta

O trabalho realizado é J. Sim, o uso da integral tem o mesmo significado matemático de soma de infinitesimais.

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