Uma partícula de massa 2 kg se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável dada por:
F(x)=5 x^2+3 x
onde F(x) está em Newtons e x está em metros.
Se a partícula partir do repouso em x=1 m, qual será sua velocidade em x=4 m ?

Passo 1

Beleza, o exercício diz: uma partícula de massa F(x)=5x^2+3x, se desloca sobre o eixo sob uma força que varia com a posição,
começando do repouso em . Queremos achar a velocidade em .
Matéria envolvida: Teorema Trabalho‐Energia. Para resolver, vamos precisar integrar a força no intervalo de a para achar o trabalho, e daí usar a relação entre trabalho e energia cinética.

Passo 2

O Teorema Trabalho‐Energia diz que o trabalho total W = De realizado pela força ao mover a partícula de W = tfrac12,m,v^2(4) a é igual à variação da energia cinética:
Como a partícula parte do repouso em , temos , então

Passo 3

Agora escrevemos o trabalho como integral da força ao longo do deslocamento:
W = integralx1^x2 F(x),dx = integral1^4 l(5x^2+3xr),dx

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. A primitiva de integral (5x^2+3x),dx = 53x^3 + 32x^2 + C é
W = l[tfrac53x^3 + tfrac32x^2r]1^4 = l(tfrac53cdot4^3 + tfrac32cdot4^2r) - l(tfrac53cdot1^3 + tfrac32cdot1^2r)
Aplicando os limites de 1 a 4:
W = 3923 - 196 = 784 - 196 = 7656 = 127,5:J
Calculemos cada parte:
  • Para : .
  • Para : .
    Então

Passo 5

Finalmente, usamos 127,5 = tfrac12 cdot 2 cdot v^2(4) Longrightarrow v^2(4) = 127,5 times 22 = 127,5 Longrightarrow v(4) = raiz127,5approx 11,3:m/s . Substituindo e :

Resposta

A velocidade da partícula em boxed11,3:m/s é aproximadamente

Exercícios relacionados