Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por
. Escreva expressões para (a) a velocidade e (b) a aceleração em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede duas coisas. Informações e perguntas extraídas do enunciado:
- A posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é
. - Pergunta (a): escrever a expressão para a velocidade em função do tempo.
- Pergunta (b): escrever a expressão para a aceleração em função do tempo.
Passo 2
Entender o que significa “velocidade” e “aceleração” matematicamente (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- A velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função posição
em relação a . Escrevemos isso como . - A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade:
. - Em palavras: derivar significa “ver como a função muda quando
muda um pouquinho”. Vamos usar regras básicas de derivação para funções polinomiais.
Passo 3
Relembrando duas regras de derivação que usaremos (com explicação):
- Regra do expoente (power rule): para qualquer número real
,
Isto significa, por exemplo, que
e
.
- Regra do fator constante e soma: se
é constante e são funções,
Ou seja, podemos derivar termo a termo e puxar constantes para fora.
Passo 4
Aplicando as regras à função dada para obter a velocidade (passo a passo):
- Começamos com
. - Derivando termo a termo:
- Usando a regra do fator constante em
:
- E
. - Somando os resultados:
Interpretação rápida: a velocidade tem unidades de metros por segundo (
).
Passo 5
Agora obtemos a aceleração derivando a velocidade (passo a passo):
- Temos
. - Derivando:
-
-
porque a derivada de constante é zero. - Logo
Interpretação: a aceleração é constante e vale
metros por segundo ao quadrado (
).
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, mas ajuda a entender):
- Se
s, então m/s. - A aceleração continua sendo
m/s .
Isto mostra como usar as expressões obtidas na prática.
Passo 7
Resumo final e palavra de ânimo: derivamos a posição para obter a velocidade e derivamos novamente para obter a aceleração; deu pouco trabalho aplicando a regra do expoente e a linearidade da derivada — você consegue fazer isso na prova também, respira fundo e bora praticar!
Resposta
(a)
(b)
(b)