Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por =+4 t 2+t. Escreva expressões para (a) a velocidade e (b) a aceleração em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede duas coisas. Informações e perguntas extraídas do enunciado:
  • A posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é \,s(t)=4t^{2}+t\,.
  • Pergunta (a): escrever a expressão para a velocidade em função do tempo.
  • Pergunta (b): escrever a expressão para a aceleração em função do tempo.

Passo 2

Entender o que significa “velocidade” e “aceleração” matematicamente (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • A velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função posição s(t) em relação a t. Escrevemos isso como \,v(t)=\dfrac{d}{dt}s(t)\,.
  • A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade: \,a(t)=\dfrac{d}{dt}v(t)=\dfrac{d^{2}}{dt^{2}}s(t)\,.
  • Em palavras: derivar significa “ver como a função muda quando t muda um pouquinho”. Vamos usar regras básicas de derivação para funções polinomiais.

Passo 3

Relembrando duas regras de derivação que usaremos (com explicação):
  • Regra do expoente (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
Isto significa, por exemplo, que \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t e \dfrac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1.
  • Regra do fator constante e soma: se c é constante e f,g são funções,
\frac{d}{dt}\bigl(c\cdot f(t)\bigr)=c\cdot \frac{d}{dt}f(t),\qquad \frac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)=\frac{d}{dt}f(t)+\frac{d}{dt}g(t).
Ou seja, podemos derivar termo a termo e puxar constantes para fora.

Passo 4

Aplicando as regras à função dada para obter a velocidade (passo a passo):
  • Começamos com \,s(t)=4t^{2}+t\,.
  • Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(4t^{2}+t\bigr)=\frac{d}{dt}\bigl(4t^{2}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr).
  • Usando a regra do fator constante em \,4t^{2}\,:
\frac{d}{dt}\bigl(4t^{2}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=4\cdot(2t)=8t.
  • E \dfrac{d}{dt}(t)=1.
  • Somando os resultados:
v(t)=8t+1.
Interpretação rápida: a velocidade tem unidades de metros por segundo ( \text{m/s}).

Passo 5

Agora obtemos a aceleração derivando a velocidade (passo a passo):
  • Temos \,v(t)=8t+1\,.
  • Derivando:
\frac{d}{dt}\bigl(8t+1\bigr)=\frac{d}{dt}(8t)+\frac{d}{dt}(1).
  • \dfrac{d}{dt}(8t)=8\cdot\dfrac{d}{dt}(t)=8\cdot 1=8.
  • \dfrac{d}{dt}(1)=0 porque a derivada de constante é zero.
  • Logo
a(t)=8.
Interpretação: a aceleração é constante e vale 8 metros por segundo ao quadrado ( \text{m/s}^{2}).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, mas ajuda a entender):
  • Se t=2 s, então \,v(2)=8\cdot 2+1=17 m/s.
  • A aceleração continua sendo \,a(2)=8 m/s ^2.
    Isto mostra como usar as expressões obtidas na prática.

Passo 7

Resumo final e palavra de ânimo: derivamos a posição para obter a velocidade e derivamos novamente para obter a aceleração; deu pouco trabalho aplicando a regra do expoente e a linearidade da derivada — você consegue fazer isso na prova também, respira fundo e bora praticar!

Resposta

(a) \,v(t)=8t+1\,
(b) \,a(t)=8\,

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