*10. Um elétron parte do repouso e sofre uma aceleração que cresce linearmente com o tempo, ou seja \mathrm{a}(\mathrm{t})=\mathrm{kt}. Suponha que \mathrm{k}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} neste caso.
a) Qual a expressão de v(t) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A aceleração é uma função do tempo dada por a(t)=k\,t.
  • O valor de k é k=2\\ \text{m/s}^3.
  • O elétron parte do repouso, ou seja, sua velocidade inicial é v(0)=0.
  • Pergunta: qual é a expressão de v(t), a velocidade em função do tempo?

Passo 2

Entendendo a relação entre aceleração e velocidade (a aula rápida): a aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Em termos matemáticos isso é
a(t)=\frac{dv}{dt},
onde v=v(t) é a velocidade (em \text{m/s}) e t é o tempo (em \text{s}). Aqui a(t)=k\,t nos diz como a derivada de v varia com t.

Passo 3

Transformando o dado do enunciado em uma equação diferencial simples: substituindo a(t)=k\,t na definição,
\frac{dv}{dt}=k\,t.
Essa equação diz que a derivada de v em relação a t é k\,t. Para encontrar v(t) devemos integrar ambos os lados em relação ao tempo.

Passo 4

Integração passo a passo (a parte de cálculo, explicada como se estivéssemos fazendo na prova): integramos a equação
\frac{dv}{dt}=k\,t
multiplicando ambos os lados por dt e integrando:
\int dv=\int k\,t\,dt.
No lado esquerdo a integral de dv é v. No lado direito, k é constante, então
v(t)=k\int t\,dt = k\left(\frac{t^{2}}{2}\right)+C,
onde C é a constante de integração (sempre aparece quando integramos).

Passo 5

Usando a condição inicial para determinar a constante C: como o elétron parte do repouso, temos v(0)=0. Substituindo t=0 na expressão geral,
v(0)=k\frac{0^{2}}{2}+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto a expressão fica sem constante adicional:
v(t)=\frac{k\,t^{2}}{2}.

Passo 6

Substituindo o valor numérico de k: como k=2\\ \text{m/s}^3,
v(t)=\frac{2\,t^{2}}{2}=t^{2}.
Aqui a unidade resultante é \text{m/s}, pois integrar k (que tem unidade \text{m/s}^3) em relação ao tempo duas vezes resulta em \text{m/s}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: a velocidade cresce como o quadrado do tempo. Exemplo rápido para ver que faz sentido: para t=3\\ \text{s}, v(3)=3^{2}=9\\ \text{m/s}. Tudo coerente com aceleração que aumenta linearmente.

Resposta

v(t)=t^{2}\\ \text{m/s}

Exercícios relacionados