*10. Um elétron parte do repouso e sofre uma aceleração que cresce linearmente com o tempo, ou seja
. Suponha que
neste caso.
a) Qual a expressão de
?
a) Qual a expressão de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A aceleração é uma função do tempo dada por
. - O valor de
é . - O elétron parte do repouso, ou seja, sua velocidade inicial é
. - Pergunta: qual é a expressão de
, a velocidade em função do tempo?
Passo 2
Entendendo a relação entre aceleração e velocidade (a aula rápida): a aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Em termos matemáticos isso é
onde
é a velocidade (em
) e
é o tempo (em
). Aqui
nos diz como a derivada de
varia com
.
Passo 3
Transformando o dado do enunciado em uma equação diferencial simples: substituindo
na definição,
Essa equação diz que a derivada de
em relação a
é
. Para encontrar
devemos integrar ambos os lados em relação ao tempo.
Passo 4
Integração passo a passo (a parte de cálculo, explicada como se estivéssemos fazendo na prova): integramos a equação
multiplicando ambos os lados por
e integrando:
No lado esquerdo a integral de
é
. No lado direito,
é constante, então
onde
é a constante de integração (sempre aparece quando integramos).
Passo 5
Usando a condição inicial para determinar a constante
: como o elétron parte do repouso, temos
. Substituindo
na expressão geral,
Portanto a expressão fica sem constante adicional:
Passo 6
Substituindo o valor numérico de
: como
,
Aqui a unidade resultante é
, pois integrar
(que tem unidade
) em relação ao tempo duas vezes resulta em
.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: a velocidade cresce como o quadrado do tempo. Exemplo rápido para ver que faz sentido: para
,
. Tudo coerente com aceleração que aumenta linearmente.