Uma partícula está se movendo ao longo de uma curva tendo a equação vetorial
sigma(t) = 3t * i + (4t - t^2) * j
(a) Encontre uma equação cartesiana da trajetória da partícula.
(b) Encontre o vetor velocidade e o vetor aceleração.
© Determine V(1) e A(1). Siga as instruções anteriores, se
sigma(t) = 2 e^t i + 3 e^(-t) j

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está se movendo ao longo de uma curva definida por uma equação vetorial. A gente precisa trabalhar com conceitos de trajetória, velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos usar matemática básica de cálculo e vetores. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Item (a): Encontrar uma equação cartesiana da trajetória da partícula.
A equação vetorial dada é:
Isso significa que a posição da partícula no tempo é dada pelas coordenadas e .
Para achar a equação cartesiana, queremos eliminar o parâmetro . Da equação , a gente resolve para :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Simplificando:
Então, a equação cartesiana da trajetória é:

Passo 3

Item (b): Encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração.
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
A equação vetorial é:
Para encontrar a velocidade :
Derivamos cada componente em relação a :
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então:
Para encontrar a aceleração :
Derivamos a velocidade:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Item ©: Determinar e para
Primeiro, vamos encontrar a velocidade e a aceleração para essa nova equação vetorial.
Velocidade :
Derivamos cada componente:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Então:
Aceleração :
Derivamos a velocidade:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Então:
Agora, substituímos :
Velocidade em :
Aceleração em :

Resposta

(a) A equação cartesiana da trajetória é .
(b) O vetor velocidade é e o vetor aceleração é .
© Para , e .

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