Um sistema é constituído de duas espiras circulares concêntricas, de 100 cm de raio cada uma e estão localizadas em planos perpendiculares, no vácuo. Calcule e represente a intensidade do campo magnético no centro das espiras, admitindo que cada espira conduz 500 mA .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Duas espiras circulares concêntricas, cada uma com raio 100\\ \mathrm{cm}.
  • As espiras estão em planos perpendiculares entre si (ou seja, seus eixos são perpendiculares).
  • Cada espira conduz uma corrente de 500\\ \mathrm{mA}.
  • O meio é o vácuo.
O que é pedido:
  • Calcular a intensidade do campo magnético no centro das espiras.
  • Representar esse campo (ou seja, indicar suas componentes vetoriais e direção).

Passo 2

Converter unidades e listar dados numéricos explicitamente (pegando os números do enunciado):
  • Raio de cada espira: 100\\ \mathrm{cm}=1,00\\ \mathrm{m}. Vou usar R=1,00\\ \mathrm{m}.
  • Corrente em cada espira: 500\\ \mathrm{mA}=0,500\\ \mathrm{A}. Vou usar I=0,500\\ \mathrm{A}.
  • Permeabilidade do vácuo: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.

Passo 3

Apresentar a fórmula do campo magnético no centro de uma espira circular e explicar de onde vem.
  • Para uma espira circular de raio R que conduz corrente I, o módulo do campo magnético no centro da espira é dado por
B_{\text{espira}}=\frac{\mu_0 I}{2R}.
  • Explicação didática curta: essa fórmula resulta da aplicação da lei de Biot–Savart integrada ao longo da espira. Em palavras simples: cada pequeno elemento de corrente gera um pequeno vetor de campo; por simetria, as componentes transversais se cancelam e sobra apenas a componente ao longo do eixo da espira, cujo valor integral dá a expressão acima.
  • O que significa cada símbolo:
    • \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo (unidade \mathrm{T\cdot m/A});
    • I é a corrente na espira (unidade A);
    • R é o raio da espira (unidade m);
    • B_{\text{espira}} é o módulo do campo magnético no centro (unidade T).

Passo 4

Calcular o campo produzido por uma espira no centro, com substituição numérica passo a passo (tudo em TeX).
  • Primeiro calcule \mu_0 I:
\mu_0 I = \bigl(4\pi\times10^{-7}\bigr)\cdot(0,500)=2\pi\times10^{-7}.
  • Agora dividir por 2R (como a fórmula pede):
B_{\text{espira}}=\frac{2\pi\times10^{-7}}{2\cdot1,00}=\pi\times10^{-7}.
  • Valor numérico aproximado:
B_{\text{espira}}\approx 3,1416\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Em notação com três algarismos significativos:
B_{\text{espira}}\approx 3,14\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Determinar a contribuição total das duas espiras, tratando o vetor soma (explicitar hipótese sobre direção).
  • As duas espiras são concêntricas e estão em planos perpendiculares. Por simetria, o campo de cada espira no centro aponta ao longo do eixo normal à sua espira.
  • Escolher um sistema de eixos conveniente:
    • Espira 1: plana no plano xy, seu eixo normal aponta ao longo de \hat z. Logo seu campo no centro é \vec B_1=B_{\text{espira}}\hat z.
    • Espira 2: plana no plano xz, seu eixo normal aponta ao longo de \hat y. Logo seu campo no centro é \vec B_2=B_{\text{espira}}\hat y.
  • Observação sobre o sentido: o sinal (positivo ou negativo) de cada componente depende do sentido da corrente em cada espira (regra da mão direita). Como o enunciado não especificou sentidos, adoto a hipótese natural de que ambas as correntes produzem campos positivos ao longo de \hat y e \hat z. Se os sentidos fossem opostos, uma componente mudaria de sinal; o módulo final seria o mesmo se os módulos forem iguais somente quando se cancelarem parcialmente — aqui assumimos que não há cancelamento de módulo por estarem em direções perpendiculares.

Passo 6

Somar vetorialmente e calcular o módulo resultante.
  • Soma vetorial:
\vec B=\vec B_1+\vec B_2 = B_{\text{espira}}\hat y + B_{\text{espira}}\hat z = B_{\text{espira}}(\hat y+\hat z).
  • Módulo (como as componentes são ortogonais e iguais em módulo):
|\vec B|=\sqrt{B_{\text{espira}}^{2}+B_{\text{espira}}^{2}}=\sqrt{2}\,B_{\text{espira}}.
  • Substituindo o valor numérico:
|\vec B|=\sqrt{2}\,\bigl(\pi\times10^{-7}\bigr)=\pi\sqrt{2}\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Valor numérico aproximado:
|\vec B|\approx 4,44\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Em microtesla:
|\vec B|\approx 0,444\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 7

Determinar a direção do vetor resultante (representação geométrica).
  • Como \vec B=B_{\text{espira}}(\hat y+\hat z), o vetor resultante está no plano yz e forma um ângulo de 45^\circ com cada eixo ( y e z), porque as componentes em y e z têm o mesmo módulo.
  • Em termos angulares, se \theta for o ângulo com o eixo \hat y,
\theta=\arctan\!\left(\frac{B_z}{B_y}\right)=\arctan(1)=45^\circ.

Passo 8

Observações finais (motivação para a prova e casos variantes).
  • Se o enunciado especificasse sentidos de corrente diferentes, a análise vetorial é a mesma: apenas as componentes \hat y e \hat z podem trocar de sinal; o módulo final seria \sqrt{B_y^{2}+B_z^{2}} com os sinais já incluídos nas componentes.
  • Método usado: aplicar a fórmula conhecida para campo no centro de uma espira e somar vetorialmente por ortogonalidade — procedimento rápido e seguro para prova.

Resposta

\displaystyle |\vec B|=\pi\sqrt{2}\times10^{-7}\\ \mathrm{T}\approx 4,44\times10^{-7}\\ \mathrm{T}=0,444\\ \mu\mathrm{T}
\displaystyle \vec B=B_{\text{espira}}(\hat y+\hat z)=\bigl(\pi\times10^{-7}\bigr)\,(\hat y+\hat z)\\ \mathrm{T} (direção formando 45^\circ com os eixos y e z).

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