- Uma particula movimenta-se com vo quando
e
. Se ela for submetida a uma desacelaração de
, onde
é uma constante, determine sua velocidade e posição em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. Temos uma partícula que começa com uma velocidade inicial $ v_0 $ quando sua posição $ s = 0 $ e o tempo $ t = 0 $. Essa partícula está sofrendo uma desaceleração que depende da velocidade dela, dada por $ a = -k v^3 $, onde $ k $ é uma constante positiva.
Então, o que precisamos fazer é encontrar duas coisas:
- A velocidade da partícula em função do tempo $ v(t) $.
- A posição da partícula em função do tempo $ s(t) $.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em encontrar a velocidade $ v(t) $. Sabemos que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
De acordo com o problema, a aceleração é $ a = -k v^3 $. Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que relaciona $ v $ e $ t $. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar $ v(t) $.
Passo 3
Para resolver a equação diferencial $ \frac{dv}{dt} = -k v^3 $, vamos separá-la, ou seja, colocar todas as expressões de $ v $ de um lado e as de $ t $ do outro lado:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ v(t) $.
Passo 4
Integrando o lado esquerdo em relação a $ v $:
Resolvendo a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Colocando tudo junto:
Passo 5
Vamos resolver para $ v $. Primeiramente, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
Podemos renomear a constante $ -C $ para simplesmente $ C $, já que é uma constante arbitrária:
Agora, vamos resolver para $ v $:
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ v(0) = v_0 $:
Substituindo $ C $ de volta na expressão de $ v $:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos $ v(t) $, vamos encontrar a posição $ s(t) $. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Então, podemos escrever:
Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ s(t) $.
Passo 7
Integrando em relação ao tempo:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja $ u = 1 + 2 k v_0^2 t $, então $ du = 2 k v_0^2 dt $, ou seja, $ dt = \frac{du}{2 k v_0^2} $.
Substituindo na integral:
Integrando $ u^{-1/2} $:
Portanto:
Usando a condição inicial $ s(0) = 0 $:
Substituindo $ C $ de volta:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é
e a posição em função do tempo é