• Uma particula movimenta-se com vo quando s=0 e t=0. Se ela for submetida a uma desacelaração de a=-k v^3, onde k é uma constante, determine sua velocidade e posição em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. Temos uma partícula que começa com uma velocidade inicial $ v_0 $ quando sua posição $ s = 0 $ e o tempo $ t = 0 $. Essa partícula está sofrendo uma desaceleração que depende da velocidade dela, dada por $ a = -k v^3 $, onde $ k $ é uma constante positiva.
Então, o que precisamos fazer é encontrar duas coisas:
  1. A velocidade da partícula em função do tempo $ v(t) $.
  2. A posição da partícula em função do tempo $ s(t) $.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar a velocidade $ v(t) $. Sabemos que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
v(t)
De acordo com o problema, a aceleração é $ a = -k v^3 $. Então, podemos escrever:
a
Essa é uma equação diferencial que relaciona $ v $ e $ t $. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar $ v(t) $.

Passo 3

Para resolver a equação diferencial $ \frac{dv}{dt} = -k v^3 $, vamos separá-la, ou seja, colocar todas as expressões de $ v $ de um lado e as de $ t $ do outro lado:
dvdt = -k v^3
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ v(t) $.

Passo 4

Integrando o lado esquerdo em relação a $ v $:
v
Resolvendo a integral do lado esquerdo:
integral dvv^3 = integral -k , dt
E a integral do lado direito:
integral v^-3 dv = v^-2-2 + C = -12 v^2 + C
Colocando tudo junto:
integral -k , dt = -k t + C

Passo 5

Vamos resolver para $ v $. Primeiramente, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
v
Podemos renomear a constante $ -C $ para simplesmente $ C $, já que é uma constante arbitrária:
-1
Agora, vamos resolver para $ v $:
12 v^2 = k t - C
-C
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ v(0) = v_0 $:
C
Substituindo $ C $ de volta na expressão de $ v $:
12 v^2 = k t + C
Simplificando:
v

Passo 6

Agora que temos $ v(t) $, vamos encontrar a posição $ s(t) $. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)
Então, podemos escrever:
s(t)
Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ s(t) $.

Passo 7

Integrando em relação ao tempo:
s(t) = integral v0raiz1 + 2 k v0^2 t , dt + C
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja $ u = 1 + 2 k v_0^2 t $, então $ du = 2 k v_0^2 dt $, ou seja, $ dt = \frac{du}{2 k v_0^2} $.
Substituindo na integral:
u = 1 + 2 k v0^2 t
Integrando $ u^{-1/2} $:
du = 2 k v0^2 dt
Portanto:
dt = du2 k v0^2
Usando a condição inicial $ s(0) = 0 $:
s(t) = v0 integral 1raizu cdot du2 k v0^2 + C = 12 k v0 integral u^-1/2 du + C
Substituindo $ C $ de volta:
u^-1/2

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é
v(t) = v0raiz1 + 2 k v0^2 t
e a posição em função do tempo é
s(t) = raiz1 + 2 k v0^2 t - 1k v0

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