Uma particula está num movimento em duas dimensöes. Os componentes de coordenações onde a partícula se encontra em cama momento t (em segundos) estäo dadas por equações a seguir
l X(t)=2 t+3 Y(t)=2 cos (A t+pi / 4)+5
onde X e Y estão em cm , t em segundos e os ângulos estão em radianos, onde A=3,0 rad / s.
a) Encontre o vetor da posição da partícula em t0=0 e t1=3,0 s.
b) Encontre o vetor de deslocamento da partícula entre t0=0 e t1=3,0 s.
c) Qual é a velocidade média da partícula no intervala de tempo t0=0 e t1=3,0 s.
d) Qual é a aceleração instantânea da partícula em t0=0 e em t1=3,0 s.’

Passo 1

O enunciado define o vetor posição
r(t)=X(t),i+Y(t),j
com
X(t)=2t+3, Y(t)=2cos(At+pi/4)+5, A=3,0 rad/s
Queremos
a) r(0) e r(3),
b) o deslocamento De<ar=r(3)-r(0),
c) a velocidade média vm=De<ar/De<a t,
d) a aceleração instantânea a(t)=ddotr(t) em t=0 e t=3.

Passo 2

Calcular r(0) e r(3).
Primeiro em t=0:
X(0)=2cdot0+3=3, Y(0)=2cos!l(tfracpi4r)+5 =2cdottfracraiz22+5=5+raiz2approx6,414
Logo
r(0)=llang<=3,;5+raiz2rrang<=approxlang<=3,000,;6,414rang<= cm
Agora em t=3:
X(3)=2cdot3+3=9,
Y(3)=2cosl(3cdot3+tfracpi4r)+5 =2cos(9+tfracpi4)+5
Como 9+pi/4approx9,785 rad e cos(9,785)approx-0,936,
Y(3)approx2cdot(-0,936)+5=3,128
Assim
r(3)approxlang<=9,000,;3,128rang<= cm

Passo 3

Deslocamento De<ar=r(3)-r(0):
De<ar =lang<=9,000-3,000,;3,128-6,414rang<= =lang<=6,000,;-3,286rang<= cm

Passo 4

Velocidade média
vm=De<ar3-0 =llang<=6,0003,;-3,2863rrang<= =lang<=2,000,,-1,095rang<= cm/s

Passo 5

Aceleração instantânea obten-se de a(t)=ddotr(t). Como
vx(t)=dot X(t)=2implies ax(t)=0,
vy(t)=dot Y(t)=-2Asin(At+tfracpi4) implies ay(t)=-2A^2cos(At+tfracpi4)
Substituindo A=3:
ay(t)=-18cos(3t+tfracpi4)
Em t=0:
ay(0)=-18cos(tfracpi4)=-18cdottfracraiz22=-9raiz2approx-12,727 cm/s^2
Em t=3:
ay(3)=-18cosl(9+tfracpi4r)approx-18cdot(-0,936)=+16,848 cm/s^2
Portanto
a(0)=lang<=0,,-9raiz2rang<=, a(3)approxlang<=0,;16,848rang<= cm/s^2

Resposta

a) r(0)=lang<=3,;5+raiz2rang<=approxlang<=3,000,;6,414rang<= cm,
r(3)approxlang<=9,000,;3,128rang<= cm
b) De<ar=lang<=6,000,;-3,286rang<= cm
c) vm=lang<=2,000,;-1,095rang<= cm/s
d) a(0)=lang<=0,,-9raiz2rang<=approxlang<=0,,-12,727rang<= cm/s^2,
a(3)approxlang<=0,;16,848rang<= cm/s^2

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