Uma partícula oscilante, presa a uma mola, move-se para frente e para trás em um movimento harmônico simples, de amplitude de 5 mm e frequência de 60 Hz .
a. Determine a velocidade máxima da partícula.
b. Se a partícula fosse substituida por outra cuja massa é o dobro da original, qual seria sua nova frequência de vibração e velocidade máxima? Suponha que a amplitude de movimento não foi modificada.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula presa a uma mola que executa movimento harmônico simples (MHS) com amplitude A=5 mm e frequência f=60 Hz. Em MHS, a velocidade máxima ocorre no ponto de passagem pelo equilíbrio e é dada por v_{\max}=A\,\omega, onde \omega é a frequência angular. Para a parte (b), se a massa dobra, a constante elástica k não muda, então \omega\propto1/\sqrt{m}, e veremos como isso afeta f e v_{\max}.

Passo 2

Primeiro convertemos A para metros e calculamos \omega:
A=5\text{ mm}=0{,}005\text{ m}, \quad \omega=2\pi f=2\pi\cdot60\approx120\pi\;\text{rad/s}\approx376{,}99\;\text{rad/s}.
Logo, a velocidade máxima é
v_{\max}=A\,\omega=0{,}005\times376{,}99\approx1{,}885\;\text{m/s}.

Passo 3

Agora dobra-se a massa. Como \omega=\sqrt{k/m}, ao multiplicar m por 2 temos
\omega_{\text{novo}}=\frac{\omega}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad f_{\text{novo}}=\frac{\omega_{\text{novo}}}{2\pi}=\frac{f}{\sqrt{2}} =\frac{60}{\sqrt{2}}\approx42{,}4\;\text{Hz}.

Passo 4

A nova velocidade máxima é
v_{\max,\text{novo}}=A\,\omega_{\text{novo}}=\frac{A\,\omega}{\sqrt{2}} =\frac{1{,}885}{\sqrt{2}}\approx1{,}333\;\text{m/s}.

Resposta

(a) v_{\max}\approx1{,}885 m/s.
(b) f_{\text{novo}}\approx42{,}4 Hz e v_{\max,\text{novo}}\approx1{,}333 m/s.

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