Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x=6.0 t^2+3.0 t+2.0, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a=-8.0 t, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t=1.0 s a velocidade é de 20 m / s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas partículas no eixo x.
  • Para a partícula 1, a posição é dada por
    .
  • Para a partícula 2, a aceleração é
    , e sabemos que em sua velocidade vale .
O conteúdo aqui é cinemática unidimensional usando cálculo:
  1. derivada de posição para achar velocidade;
  2. integral de aceleração para achar velocidade;
  3. resolver equação do 2º grau.

Passo 2

Primeiro, a gente pega a função de posição da partícula 1 e deriva pra achar a velocidade:
v1(t)=ddtl(6.0,t^2+3.0,t+2.0r)
Lembra que derivada de v1(t)=12.0,t + 3.0 é , de é 1, e de constante é zero. Então:

Passo 3

Agora, pra partícula 2, a gente tem a aceleração v2(t)=integral a2(t),dt = integral (-8.0,t),dt = -4.0,t^2 + C. Velocidade é a integral da aceleração:
Esse “ ” é a constante de integração que a gente ainda não sabe.

Passo 4

Use a condição inicial: em 20 = v2(1) = -4.0cdot(1)^2 + C = -4.0 + C Longrightarrow C = 24.0 , v2(t) = -4.0,t^2 + 24.0 . Então:
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Passo 5

Pra achar quando as velocidades são iguais, iguala 12.0,t + 3.0 ;=; -4.0,t^2 + 24.0 com 4.0,t^2 + 12.0,t - 21.0 = 0 :
De
Passando tudo pro mesmo lado:
t = -b pm raizDe
Isso é uma equação do 2º grau t = -3 + raiz302 approx 1.24:s , , .
O discriminante é
Então as raízes são
Dessas duas, só faz sentido pegar o positivo:

Resposta

As duas partículas têm a mesma velocidade em
boxedt = raiz30 - 32 approx 1,24:s

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