Duas partículas se movem ao longo do eixo
. A posição da partícula 1 é dada por
, onde
está em metros e
em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por
, onde
está em metros por segundo ao quadrado e
em segundos. No instante
a velocidade é de
. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas partículas no eixo x.
- Para a partícula 1, a posição é dada por
. - Para a partícula 2, a aceleração é
, e sabemos que em sua velocidade vale .
O conteúdo aqui é cinemática unidimensional usando cálculo:
- derivada de posição para achar velocidade;
- integral de aceleração para achar velocidade;
- resolver equação do 2º grau.
Passo 2
Primeiro, a gente pega a função de posição da partícula 1 e deriva pra achar a velocidade:
Lembra que derivada de
é
, de
é 1, e de constante é zero. Então:
Passo 3
Agora, pra partícula 2, a gente tem a aceleração
. Velocidade é a integral da aceleração:
Esse “
” é a constante de integração que a gente ainda não sabe.
Passo 4
Use a condição inicial: em
,
. Então:
Logo
Passo 5
Pra achar quando as velocidades são iguais, iguala
com
:
Passando tudo pro mesmo lado:
Isso é uma equação do 2º grau
,
,
.
O discriminante é
O discriminante é
Então as raízes são
Dessas duas, só faz sentido pegar o
positivo:
Resposta
As duas partículas têm a mesma velocidade em