Uma partícula é projetada horizontalmente, com \mathrm{V}_{0}= 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, de um platô de 20 m de altura. Quando a partícula atingirá o solo? Onde a partícula atingirá o solo? Desconsidere o atrito e use \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} . \mathrm{R} : 2 s e 8 m .

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas (peguei todos esses valores do enunciado):
  • Velocidade inicial horizontal: \mathrm{V}_{0}=4\\ \mathrm{m/s}.
  • Altura do platô em relação ao solo: h=20\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Desprezar atrito (portanto, nenhuma resistência do ar).
O enunciado pergunta:
  1. Quando a partícula atingirá o solo? (tempo desde o lançamento até o choque)
  2. Onde (a que distância horizontal do ponto de lançamento) a partícula atingirá o solo?

Passo 2

Ideia física e separação do movimento (passo didático):
  • Quando um projétil é lançado horizontalmente, o movimento se decompõe em duas partes independentes:
    • Movimento horizontal: velocidade constante igual a \mathrm{V}_{0} (não há aceleração horizontal, já que desprezamos atrito).
    • Movimento vertical: é uma queda livre com aceleração -g (apontando para baixo). A velocidade vertical inicial é zero porque o lançamento é puramente horizontal.
Fórmula básica do movimento com aceleração constante (aplicada à componente vertical):
y(t)=y_{0}+v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2},
onde:
  • y(t) é a altura no instante t,
  • y_{0} é a altura inicial (aqui y_{0}=h),
  • v_{y0} é a velocidade vertical inicial (aqui v_{y0}=0),
  • g é a aceleração da gravidade (positiva no módulo; o sinal negativo no termo -\tfrac{1}{2}g t^{2} indica que a altura diminui).
Para o movimento horizontal usamos a equação da posição com velocidade constante:
x(t)=x_{0}+v_{x}\,t,
onde:
  • x(t) é a posição horizontal no instante t,
  • x_{0} é a posição horizontal inicial (tomamos x_{0}=0),
  • v_{x} é a velocidade horizontal (aqui v_{x}=\mathrm{V}_{0}=4\\ \mathrm{m/s}).

Passo 3

Calcular o tempo de queda usando a equação vertical:
Substituindo y(t)=0 (solo), y_{0}=h e v_{y0}=0 na fórmula vertical:
0 = h + 0\cdot t - \tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Isto é
0 = h - \tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Rearranjando para resolver t:
\tfrac{1}{2}g\,t^{2} = h
t^{2} = \dfrac{2h}{g}
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos ( h=20\\ \mathrm{m}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}):
t = \sqrt{\dfrac{2\cdot 20}{10}} = \sqrt{\dfrac{40}{10}} = \sqrt{4} = 2\\ \text{s}.
Portanto o tempo de queda é \,2\\ \text{s}.

Passo 5

Calcular a distância horizontal percorrida (alcance). Usamos x(t)=x_{0}+v_{x}t com x_{0}=0 e v_{x}=\mathrm{V}_{0}=4\\ \mathrm{m/s}:
x = v_{x}\,t = \mathrm{V}_{0}\,t.
Substituindo t=2\\ \mathrm{s}:
x = 4\\ \mathrm{m/s}\times 2\\ \mathrm{s} = 8\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação e interpretação rápida (didática):
  • O tempo depende só da altura e de g, não depende de \mathrm{V}_{0}. Isso acontece porque a componente vertical inicia em zero e a gravidade governa a queda.
  • A distância horizontal cresce linearmente com \mathrm{V}_{0} e com o tempo de queda: x=\mathrm{V}_{0}\sqrt{2h/g}. Se \mathrm{V}_{0} fosse maior, o alcance aumentaria proporcionalmente.

Resposta

2\ s
8\ m

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