Uma partícula quântica em um poço quadrado de profundidade infinita tem função de onda dada por
psi2(x)=raiz2L sin (2 pi xL)
para 0 <= x <= L e zero em outras condições. Determine o valor esperado de x.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma partícula num poço quadrado infinito (ou seja, paredes infinitamente altas em 0 e em L) no estado quântico de número quântico 2. A função de onda é
lang<= xrang<= ;=;integral0^Lpsi2^*(x),x,psi2(x),dx,
para . O que queremos é o valor esperado de , ou seja
Conteúdo: valor esperado em mecânica quântica e algumas contas de integração e identidades trigonométricas.

Passo 2

Fórmula geral de valor esperado de lang<= xrang<= = integral0^L psi^*(x),x,psi(x),dx = integral0^L x,|psi(x)|^2,dx para uma função de onda normalizada lang<= xrang<= = integral0^L x,2Lsin^2!l(2pi xLr),dx :
Aqui . Então

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Aqui sin^2!l(tfrac2pi xLr) = 1 - cos!l(tfrac4pi xLr)2 , então
lang<= xrang<= = integral0^L x,2L,1 - cos(tfrac4pi xL)2,dx = 1Lintegral0^L x,[,1 - cos(tfrac4pi xL),],dx
Assim

Passo 4

Separando em duas partes:
lang<= xrang<= = 1Ll[integral0^L x,dx ;-; integral0^L xcos!l(tfrac4pi xLr),dxr]
  1. integral0^L xcos(kx),dx = l[xsin(kx)kr]0^L - integral0^L sin(kx)k,dx
  2. , com , a gente faz por partes:
    • Tome , .
    • Então , .
    • Logo

Passo 5

Calculando a parte trigonométrica:
l[xsin(kx)kr]0^L = L,sin(kL)k - 0
Mas - integral0^L sin(kx)k,dx = -1kl[-cos(kx)kr]0^L = 1k^2l[cos(kL)-cos(0)r] = 1k^2(1 - 1) = 0 , e . Então essa primeira parte some.
A segunda parte é
Então, no fim das contas,

Passo 6

Voltando a
lang<= xrang<= = 1Ll[L^22 - 0r] = L^22L = L2

Resposta

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