Demonstre que a função de onda
é uma solução da equação de Schrödinger
, onde
e
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede:
“Mostrar que a função de onda
“Mostrar que a função de onda
é solução da equação de Schrödinger estacionária
quando
e
.
Isso é conteúdo de mecânica quântica: aplicar derivadas em funções exponenciais (regra da cadeia) e identificar a energia associada.
Isso é conteúdo de mecânica quântica: aplicar derivadas em funções exponenciais (regra da cadeia) e identificar a energia associada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Como
Como
a derivada primeira é
Agora a segunda derivada (derivar de novo):
Passo 3
Agora substituímos na equação de Schrödinger estacionária com
:
Como
, o lado esquerdo vira simplesmente
. Para ser solução, precisamos que isso seja igual a
. Logo
Passo 4
Pra fechar, relembre que
. Então a energia fica
Além disso, na equação de Schrödinger dependente do tempo, normalmente temos
, mostrando que tudo bate certinho:
.
Resposta
A função de onda
satisfaz
desde que