Demonstre que a função de onda psi=A e^i(k x-omega t) é uma solução da equação de Schrödinger (-hbar^22 m d^2 psid x^2+U psi=E psi), onde k=2 pi / lambda e U=0

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede:
“Mostrar que a função de onda
psi(x,t) ;=; A,e^,i,(k x - omega t)
é solução da equação de Schrödinger estacionária
-hbar^22m,d^2psid x^2 ;+; U,psi ;=; E,psi
quando e .
Isso é conteúdo de mecânica quântica: aplicar derivadas em funções exponenciais (regra da cadeia) e identificar a energia associada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de psi(x,t) = A,e^i(kx - omega t), em relação a dpsidx = A;ddxl(e^i(kx - omega t)r) = A;i k;e^i(kx - omega t) = i k,psi .
Como
d^2psidx^2 = ddxl(i k,psir) = i k;dpsidx = i k,(i k),psi = -,k^2,psi
a derivada primeira é
Agora a segunda derivada (derivar de novo):

Passo 3

Agora substituímos na equação de Schrödinger estacionária com -hbar^22m,d^2psidx^2 = -hbar^22m,l(-k^2,psir) = hbar^2,k^22m,psi :
hbar^2,k^22m,psi ;=; E,psi Longrightarrow E ;=;hbar^2,k^22m
Como , o lado esquerdo vira simplesmente . Para ser solução, precisamos que isso seja igual a . Logo

Passo 4

Pra fechar, relembre que E ;=;hbar^22m,l(2pilambdar)^!2 . Então a energia fica
Além disso, na equação de Schrödinger dependente do tempo, normalmente temos , mostrando que tudo bate certinho: .

Resposta

A função de onda -hbar^22m,d^2psidx^2+0cdotpsi =E,psi satisfaz
E ;=;hbar^2,k^22m,
desde que

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