Uma partícula é representada pela função de onda
Psi(x, t)=A exp (-x^2) exp [i(k x-omega t)]
a) Obtenha a constante de normalização A
b) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre x e x+dx no tempo t ?
c) Qual é a probabilidade total de encontrar a partícula entre -infty e+infty ?

Passo 1

O problema dá a função de onda de uma partícula Psi(x,t)=Aexp(-x^2)exp[i(kx-omega t)]. Vamos usar teoria de normalização de funções de onda (em Mecânica Quântica, a integral de |Psi|^2 deve ser 1) e conceito de densidade de probabilidade.

Passo 2

Para achar a constante A, calculamos |Psi(x,t)|^2 e impomos integral-infty^+infty|Psi|^2,dx=1. Como |Psi|^2=|A|^2e^-2x^2, temos:
|A|^2integral-infty^+inftye^-2x^2dx=1
Sabemos que integral-infty^+inftye^-ax^2dx=raizpia. Aqui a=2, logo a integral vale raizpi/2. Portanto
escolhendo |A|^2raiztfracpi2=1 Rightarrow|A|^2=raiztfrac2pi RightarrowA=l(tfrac2pir)^1/4, real e positivo.

Passo 3

A densidade de probabilidade de encontrar a partícula entre x e x+dx no instante t é
P(x,t),dx=|Psi(x,t)|^2,dx=|A|^2e^-2x^2,dx=raiztfrac2pi,e^-2x^2,dx
Note que é independente de t pois o fator de fase e^-iomega t some em |Psi|^2.

Passo 4

A probabilidade total de encontrar a partícula em todo o eixo (-infty,+infty) é
integral-infty^+inftyP(x,t),dx=|A|^2integral-infty^+inftye^-2x^2dx=1
por construção da normalização.

Resposta

a) A=l(2/pir)^1/4 b) A probabilidade no intervalo [x,x+dx] é P(x,t),dx=raiztfrac2pi,e^-2x^2,dx c) A probabilidade total em (-infty,+infty) é 1.

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