Uma partícula sujeita a uma força oscilatória
, onde
e
são constantes positivas. Calcule a velocidade e a trajetória em função do tempo em termos de m,
. Resposta:
e
. Onde:
.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que uma partícula de massa
sofre uma força oscilatória
com
Conteúdo que vamos usar:
- Segunda lei de Newton
- Definição de aceleração
- Integração de funções trigonométricas;
- Constantes de integração (aparecem
Passo 2
Primeiro passo da resolução de fato: usar a segunda lei de Newton.
Como
Passo 3
Agora integramos para achar a velocidade. Integração de
de
a
:
Usamos a primitiva de
Então
Definindo
ficamos com
Passo 4
Com
em mãos, integramos de novo para achar
:
$$x(t)-x_{0}=\int_{0}^{t}v(t’),dt’
=\int_{0}^{t}\Bigl[v_{0}+v_{c}(\sin(\omega t’+\phi)-\sin\phi)\Bigr]dt’.$$
Separamos:
1) .
2)
3)
Separamos:
1)
2)
3)
Somando tudo:
Agrupando os termos lineares em
Resposta
v(t)=v_{0}+v_{c}\bigl[\sin(\omega t+\phi)-\sin(\phi)\bigr]
x(t)=x_{0}+\bigl(v_{0}-v_{c}\sin\phi\bigr),t+\frac{v_{c}}{\omega}\bigl[\cos\phi-\cos(\omega t+\phi)\bigr]
onde .
x(t)=x_{0}+\bigl(v_{0}-v_{c}\sin\phi\bigr),t+\frac{v_{c}}{\omega}\bigl[\cos\phi-\cos(\omega t+\phi)\bigr]
onde