Uma partícula sujeita a uma força oscilatória F=F0 cos (omega t+phi), onde F0, omega, phi, v0 e x0 são constantes positivas. Calcule a velocidade e a trajetória em função do tempo em termos de m, F0, omega, phi, v0 e0. Resposta: v(t)=v0+ vcsen(omega t+phi)-sen(phi) e vc=F0 /. Onde: m omega .

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que uma partícula de massa m sofre uma força oscilatória
F(t)=F0cos(omega t+phi)
com F0,omega,phi,v0,x0 constantes positivas. A tarefa é achar a velocidade v(t) e a posição x(t) em função do tempo.
Conteúdo que vamos usar:
- Segunda lei de Newton F=ma;
- Definição de aceleração a=dv/dt;
- Integração de funções trigonométricas;
- Constantes de integração (aparecem v0 e x0).

Passo 2

Primeiro passo da resolução de fato: usar a segunda lei de Newton.
m,a(t)=F(t)Longrightarrow a(t)=F(t)m=F0mcos(omega t+phi)
Como a=dv/dt, podemos escrever:
dvdt=F0mcos(omega t+phi)

Passo 3

Agora integramos para achar a velocidade. Integração de dv/dt de 0 a t:
v(t)-v0=integral0^tF0mcos(omega t'+phi),dt'
Usamos a primitiva de cos(omega t'+phi):
integralcos(omega t'+phi),dt'=1omegasin(omega t'+phi)
Então
v(t)-v0=F0mcdot1omegal[sin(omega t+phi)-sin(phi)r]
Definindo
vc=F0m,omega,
ficamos com
boxedv(t)=v0+vc,l[sin(omega t+phi)-sin(phi)r]

Passo 4

Com v(t) em mãos, integramos de novo para achar x(t):
$$x(t)-x_{0}=\int_{0}^{t}v(t’),dt’
=\int_{0}^{t}\Bigl[v_{0}+v_{c}(\sin(\omega t’+\phi)-\sin\phi)\Bigr]dt’.$$
Separamos:
1) x(t)-x0=integral0^tv(t'),dt' =integral0^tl[v0+vc(sin(omega t'+phi)-sinphi)r]dt'.
2) integral0^tv0,dt'=v0,t
3) integral0^tvcsin(omega t'+phi),dt' =vcl[-1omegacos(omega t'+phi)r]0^t =-vcomega[cos(omega t+phi)-cosphi]
Somando tudo:
integral0^t(-vcsinphi),dt'=-vcsinphi;t
Agrupando os termos lineares em x(t)-x0=v0,t;-;vcsinphi;t;-;vcomegal[cos(omega t+phi)-cosphir]:
t

Resposta

v(t)=v_{0}+v_{c}\bigl[\sin(\omega t+\phi)-\sin(\phi)\bigr]
x(t)=x_{0}+\bigl(v_{0}-v_{c}\sin\phi\bigr),t+\frac{v_{c}}{\omega}\bigl[\cos\phi-\cos(\omega t+\phi)\bigr]
onde vc=F0/(m,omega).

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