Beleza, aqui o que a questão tá pedindo é sobre um corpo de massa que cai em linha reta num fluido, partindo do repouso. A gravidade é constante e aparece a força de resistência do fluido, que é proporcional à velocidade:
Não tem empuxo, só peso e arrasto. Isso é um problema clássico de equações diferenciais:
Conteúdo: Segunda lei de Newton (), equações diferenciais de 1ª ordem e separação de variáveis.
Vamos precisar montar e resolver , depois integrar pra achar posição.
Passo 2
A gente monta a equação de movimento:
Agora separa variáveis:
Integramos dos limites em até em :
Isso dá
Então
Passo 3
A velocidade terminal é o limite quando vrm term = limttoinftyv(t) = gk . Como , fica
Passo 4
Pra achar a posição z(t)=integral0^t v(t'),dt' =gkintegral0^t l(1-e^-k,t'r)dt' (com integral0^t(1-e^-k,t')dt' = t - 1kl(1 - e^-k,tr), ), integramos z(t) = gkl[t - 1kl(1 - e^-k,tr)r] = gk^2l(1 - e^-k,tr) - gk,t :
Fazendo a integral:
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Passo 5
Por fim v = gk(1 - e^-k,t) ;Longrightarrow; e^-k,t=1-k,vg ;Longrightarrow; t = -1klnl(1-k,vgr) : invertemos z(v) =gk^2l(1 - l(1-tfrack,vgr)r) -gk!l(-1klnl(1-tfrack,vgr)r) pra achar z(v) =vk + gk^2lnl(1-k,vgr) em função de :
Substituindo em :
(A forma pode ficar equivalente trocando sinal dentro do log, conforme convenção.)