Um corpo de massa m cai em linha reta a partir do repouso em um fluido. A aceleração da gravidade pode ser considerada constante. O corpo é sujeito também a uma força de resistência proporcional à velocidade: Fr=-kmv, onde k é uma constante. A força de empuxo do fluido é desprezível. (a) Obtenha o módulo da velocidade do corpo em função do tempo. (b) Qual é a velocidade terminal do corpo (módulo da velocidade no limite t infty )? © Encontre z(t), a posição do corpo como função do tempo (considere z(0)=0 ); (d) Encontre z(v), a posição do corpo como função do módulo da velocidade. Resposta: (a) , (b) .

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão tá pedindo é sobre um corpo de massa Fr = -,k,m,v que cai em linha reta num fluido, partindo do repouso. A gravidade é constante e aparece a força de resistência do fluido, que é proporcional à velocidade:
Não tem empuxo, só peso e arrasto. Isso é um problema clássico de equações diferenciais:
  • Conteúdo: Segunda lei de Newton ( ), equações diferenciais de 1ª ordem e separação de variáveis.
  • Vamos precisar montar e resolver , depois integrar pra achar posição.

Passo 2

A gente monta a equação de movimento:
m,dvdt = m,g - k,m,v Longrightarrow dvdt = g - k,v
Agora separa variáveis:
dvg - k,v = dt
Integramos dos limites integral0^v!dug - k,u = integral0^t!dt' Longrightarrow -1klnl(g - k,vr)|0^v = t em -1kl[ln(g - kv)-ln(g)r] = t Longrightarrow lng - k,vg = -k,t até g - k,v = g,e^-k,t Longrightarrow v(t) = gk,l(1 - e^-k,tr) em :
Isso dá
Então

Passo 3

A velocidade terminal é o limite quando vrm term = limttoinftyv(t) = gk . Como , fica

Passo 4

Pra achar a posição z(t)=integral0^t v(t'),dt' =gkintegral0^t l(1-e^-k,t'r)dt' (com integral0^t(1-e^-k,t')dt' = t - 1kl(1 - e^-k,tr), ), integramos z(t) = gkl[t - 1kl(1 - e^-k,tr)r] = gk^2l(1 - e^-k,tr) - gk,t :
Fazendo a integral:
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Passo 5

Por fim v = gk(1 - e^-k,t) ;Longrightarrow; e^-k,t=1-k,vg ;Longrightarrow; t = -1klnl(1-k,vgr) : invertemos z(v) =gk^2l(1 - l(1-tfrack,vgr)r) -gk!l(-1klnl(1-tfrack,vgr)r) pra achar z(v) =vk + gk^2lnl(1-k,vgr) em função de :
Substituindo em :
(A forma pode ficar equivalente trocando sinal dentro do log, conforme convenção.)

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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