Seja uma força
dependente do tempo, dada por
e
são constantes positivas. Determine a velocidade e a trajetória em função do tempo, em termos de A, B, m vo e xo. Resposta:
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma força que varia com o tempo,
onde
Matéria envolvida: Segunda lei de Newton (dinâmica) e técnicas de integração (cálculo). Vamos precisar usar
1)
2) saber integrar funções polinomiais em
Passo 2
Aplicando a segunda lei de Newton:
Dividindo por
Aqui a ideia é reconhecer que a aceleração
é a derivada da velocidade. Para achar
, basta integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Integramos
em
$$v(t)=\int!\Bigl(\frac{A}{m}-\frac{B}{m},t\Bigr),dt
= \frac{A}{m},t-\frac{B}{m},\frac{t^2}{2} + C_1
= \frac{A}{m},t-\frac{B,t^2}{2m}+C_1,. v(0)=0+0+C_1=v_0\quad\Longrightarrow\quad C_1=v_0,. $$
Logo
Passo 4
Agora que já temos
, usamos
para achar a posição.
Integramos em
$$x(t)=\int!\Bigl(v_0+\frac{A}{m},t-\frac{B,t^2}{2m}\Bigr),dt
= v_0,t+\frac{A}{m},\frac{t2}{2}-\frac{B}{2m},\frac{t3}{3}+C_2$$
onde usamos
Resposta
As soluções finais são