Seja uma força F dependente do tempo, dada por F=A-B t, A e B são constantes positivas. Determine a velocidade e a trajetória em função do tempo, em termos de A, B, m vo e xo. Resposta: v(t)=v0+(A / m) t-B t^2 / 2 m e x(t)= x0+v0 t+At^2 / 2 m-Bt^3 / 6 m.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma força que varia com o tempo,
F(t)=A - B,t
onde e são constantes positivas. A massa é . Queremos achar a velocidade e a posição em função de , usando também as condições iniciais e .
Matéria envolvida: Segunda lei de Newton (dinâmica) e técnicas de integração (cálculo). Vamos precisar usar
1) , isto é, ;
2) saber integrar funções polinomiais em e aplicar condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton:
m,a = F(t)Longrightarrow m,dvdt=A - B,t,
Dividindo por dvdt=Am-Bm,t, :
Aqui a ideia é reconhecer que a aceleração é a derivada da velocidade. Para achar , basta integrar ambos os lados em relação a .

Passo 3

Integramos
dvdt=Am-Bm,t
em v(t)=integral!l(Am-Bm,tr),dt = Am,t-Bm,t^22 + C1 = Am,t-B,t^22m+C1, :
$$v(t)=\int!\Bigl(\frac{A}{m}-\frac{B}{m},t\Bigr),dt
= \frac{A}{m},t-\frac{B}{m},\frac{t^2}{2} + C_1
= \frac{A}{m},t-\frac{B,t^2}{2m}+C_1,. v(0)=0+0+C_1=v_0\quad\Longrightarrow\quad C_1=v_0,. $$
Logo
v(0)=0+0+C1=v0Longrightarrow C1=v0,

Passo 4

Agora que já temos dxdt=v0+Am,t-B,t^22m, , usamos x(t)=integral!l(v0+Am,t-B,t^22mr),dt = v0,t+Am,t^22-B2m,t^33+C2 para achar a posição.
=x0+v0,t+A,t^22m-B,t^36m,,
Integramos em :
$$x(t)=\int!\Bigl(v_0+\frac{A}{m},t-\frac{B,t^2}{2m}\Bigr),dt
= v_0,t+\frac{A}{m},\frac{t2}{2}-\frac{B}{2m},\frac{t3}{3}+C_2$$

onde usamos para achar .

Resposta

As soluções finais são
v(t)=v0+Am,t-B,t^22m, x(t)=x0+v0,t+A,t^22m-B,t^36m

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