Uma partícula tem posição x(t)=5 t^{2} (SI). Determine v(t), a(t) e os valores numéricos \mathrm{em} t=2,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede a velocidade, a aceleração e os valores numéricos dessas grandezas em t=2{,}0\\ \mathrm{s}.
Informações fornecidas:
x(t)=5\,t^{2}\quad\text{(unidades SI: metros)}
O que o problema pede:
  1. Determinar v(t) (velocidade como função do tempo).
  2. Determinar a(t) (aceleração como função do tempo).
  3. Calcular numericamente v e a em t=2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): velocidade e aceleração são derivadas da posição em relação ao tempo.
  • Velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição x(t) com o tempo. Em linguagem matemática isso é a derivada:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Isto significa: pego a função x(t) e aplico a operação "derivar em relação a t" — que dá quanto x muda quando t muda.
  • Aceleração a(t) é a taxa de variação da velocidade com o tempo, ou seja a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Breve lembrete da regra prática que usaremos (regra do expoente/potência):
Se f(t)=t^{n}, então
\frac{d}{dt}\,t^{n}=n\,t^{n-1}.
Se há uma constante multiplicando a função, por exemplo c\cdot f(t), a derivada é
\frac{d}{dt}\big(c\cdot f(t)\big)=c\cdot \frac{d}{dt}f(t).
Essas duas regras são tudo que precisamos aqui.

Passo 3

Aplicando a regra ao problema: calcular v(t)=\dfrac{dx}{dt} para x(t)=5\,t^{2}.
Usando a propriedade da constante e a regra do expoente:
v(t)=\frac{dx}{dt}=\;5\cdot\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big).
Pela regra do expoente \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t. Portanto
v(t)=5\cdot(2t)=10\,t.
Interpretação rápida: a velocidade cresce linearmente com o tempo, proporcional a t.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Temos v(t)=10\,t.
Aplicando a derivada:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\big(10\,t\big)=10\cdot\frac{d}{dt}t=10\cdot 1=10.
Resultado: a aceleração é constante e igual a 10 (em unidades SI). Em termos de unidades, aceleração tem unidades de \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Calculando os valores numéricos em t=2{,}0\\ \mathrm{s}.
Para a velocidade:
v(2{,}0\\ \mathrm{s})=10\cdot(2{,}0)=20.
Em unidades:
v(2{,}0\\ \mathrm{s})=20\\ \mathrm{m/s}.
Para a aceleração (já é constante):
a(2{,}0\\ \mathrm{s})=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Interpretação física curta e dica de prova:
  • v(t)=10t significa que se você dobrar o tempo, dobra a velocidade; é proporcional a t.
  • a(t)=10\\ \mathrm{m/s^{2}} constante indica movimento com aceleração uniforme.
    Dica para a prova: memorizando a regra do expoente e a propriedade da constante você resolve esse tipo de exercício em 10–20 segundos. Se quiser, pratique com x(t)=3t^{3} (derivando daria v(t)=9t^{2} e a(t)=18t) para fixar.

Resposta

v(t)=10\,t\\ \mathrm{m/s}
a(t)=10\\ \mathrm{m/s^{2}}
v(2{,}0\\ \mathrm{s})=20\\ \mathrm{m/s}
a(2{,}0\\ \mathrm{s})=10\\ \mathrm{m/s^{2}}

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