Uma partícula tem posição
(SI). Determine
e os valores numéricos
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede a velocidade, a aceleração e os valores numéricos dessas grandezas em
.
Informações fornecidas:
O que o problema pede:
- Determinar
(velocidade como função do tempo). - Determinar
(aceleração como função do tempo). - Calcular numericamente
e em .
Passo 2
Conceito necessário (explicação didática): velocidade e aceleração são derivadas da posição em relação ao tempo.
- Velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição com o tempo. Em linguagem matemática isso é a derivada:
Isto significa: pego a função
e aplico a operação "derivar em relação a
" — que dá quanto
muda quando
muda.
- Aceleração
é a taxa de variação da velocidade com o tempo, ou seja a segunda derivada da posição:
Breve lembrete da regra prática que usaremos (regra do expoente/potência):
Se , então
Se
Se há uma constante multiplicando a função, por exemplo
, a derivada é
Essas duas regras são tudo que precisamos aqui.
Passo 3
Aplicando a regra ao problema: calcular
para
.
Usando a propriedade da constante e a regra do expoente:
Pela regra do expoente
. Portanto
Interpretação rápida: a velocidade cresce linearmente com o tempo, proporcional a
.
Passo 4
Agora calculamos a aceleração
. Temos
.
Aplicando a derivada:
Resultado: a aceleração é constante e igual a
(em unidades SI). Em termos de unidades, aceleração tem unidades de
.
Passo 5
Calculando os valores numéricos em
.
Para a velocidade:
Em unidades:
Para a aceleração (já é constante):
Passo 6
Interpretação física curta e dica de prova:
-
significa que se você dobrar o tempo, dobra a velocidade; é proporcional a . -
constante indica movimento com aceleração uniforme.
Dica para a prova: memorizando a regra do expoente e a propriedade da constante você resolve esse tipo de exercício em 10–20 segundos. Se quiser, pratique com(derivando daria e ) para fixar.