Um objeto em queda livre percorre 20 m no último segundo de queda. Determine: (a) a altura inicial; (b) o tempo total de queda.
Passo 1
O enunciado diz que um objeto em queda livre percorre
m no último segundo da queda. As perguntas são:
(a) qual era a altura inicial (isto é, a distância total percorrida até o impacto)?
(b) qual o tempo total de queda?
Dados fornecidos/assunções que vamos usar: a distância no último segundo é m; vou adotar a aceleração da gravidade como
(se no seu exercício usarem
eu mostro o ajuste no final).
(a) qual era a altura inicial (isto é, a distância total percorrida até o impacto)?
(b) qual o tempo total de queda?
Dados fornecidos/assunções que vamos usar: a distância no último segundo é
Passo 2
Entendendo as fórmulas essenciais (mini-aula): para um corpo em queda livre a partir do repouso, a posição (distância caída desde o início) em função do tempo
é dada por
Aqui
é a distância percorrida em metros após
segundos, e
é a aceleração da gravidade em
. Essa fórmula vem da integração da aceleração constante
partindo de velocidade inicial zero — se quiser eu explico essa dedução, mas no exame vale decorar/recordar essa relação.
Passo 3
Agora vamos escrever a distância percorrida no último segundo, isto é, entre
e
, onde
é o tempo total de queda. Essa distância é
Substituindo a fórmula de
obtemos:
Passo 4
Desenvolvendo a diferença temos:
Simplificando,
Portanto, a distância percorrida no último segundo (que o enunciado diz ser
m) satisfaz
Passo 5
Agora isolamos
. Da equação anterior:
Substituindo
(usar frações ajuda a evitar muito arredondamento):
Colocando no mesmo denominador:
Como número decimal,
Passo 6
Agora calculamos a altura inicial
, que é a distância total caída em
segundos:
Substituindo
e
:
pois
e
. Assim
Como decimal,
(para conferência rápida: usar
com
também dá
.)
Passo 7
Verificação rápida e dica prática para prova: se o exercício permitir aproximar
, a conta fica muito simples:
Isso dá uma boa checagem mental (difere pouco do resultado com
).
Resposta
(a)
(b)
(b)