Um objeto em queda livre percorre 20 m no último segundo de queda. Determine: (a) a altura inicial; (b) o tempo total de queda.

Passo 1

O enunciado diz que um objeto em queda livre percorre 20 m no último segundo da queda. As perguntas são:
(a) qual era a altura inicial (isto é, a distância total percorrida até o impacto)?
(b) qual o tempo total de queda?
Dados fornecidos/assunções que vamos usar: a distância no último segundo é 20 m; vou adotar a aceleração da gravidade como \\ g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (se no seu exercício usarem g=10\\ \mathrm{m/s^2} eu mostro o ajuste no final).

Passo 2

Entendendo as fórmulas essenciais (mini-aula): para um corpo em queda livre a partir do repouso, a posição (distância caída desde o início) em função do tempo t é dada por
s(t)=\frac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Aqui \\ s(t) é a distância percorrida em metros após t segundos, e \\ g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^2}. Essa fórmula vem da integração da aceleração constante g partindo de velocidade inicial zero — se quiser eu explico essa dedução, mas no exame vale decorar/recordar essa relação.

Passo 3

Agora vamos escrever a distância percorrida no último segundo, isto é, entre t=T-1 e t=T, onde T é o tempo total de queda. Essa distância é
\Delta s = s(T)-s(T-1).
Substituindo a fórmula de s(t) obtemos:
\Delta s=\frac{1}{2}gT^{2}-\frac{1}{2}g(T-1)^{2}.

Passo 4

Desenvolvendo a diferença temos:
\Delta s=\frac{1}{2}g\big(T^{2}-(T^{2}-2T+1)\big)=\frac{1}{2}g(2T-1).
Simplificando,
\Delta s=g\left(T-\tfrac{1}{2}\right).
Portanto, a distância percorrida no último segundo (que o enunciado diz ser 20 m) satisfaz
g\left(T-\tfrac{1}{2}\right)=20.

Passo 5

Agora isolamos T. Da equação anterior:
T-\tfrac{1}{2}=\frac{20}{g}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{20}{g}+\tfrac{1}{2}.
Substituindo \\ g=9{,}8=\tfrac{49}{5} (usar frações ajuda a evitar muito arredondamento):
T=\frac{20}{\tfrac{49}{5}}+\tfrac{1}{2}=20\cdot\frac{5}{49}+\tfrac{1}{2}=\frac{100}{49}+\frac{1}{2}.
Colocando no mesmo denominador:
T=\frac{200}{98}+\frac{49}{98}=\frac{249}{98}.
Como número decimal,
T=\frac{249}{98}\approx 2{,}540816\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Agora calculamos a altura inicial H, que é a distância total caída em T segundos:
H=s(T)=\frac{1}{2}gT^{2}.
Substituindo g=\tfrac{49}{5} e T=\tfrac{249}{98}:
T^{2}=\left(\frac{249}{98}\right)^{2}=\frac{62001}{9604}
pois 249^{2}=62001 e 98^{2}=9604. Assim
H=\frac{1}{2}\cdot\frac{49}{5}\cdot\frac{62001}{9604}=\frac{49\cdot62001}{10\cdot9604}=\frac{3038049}{96040}.
Como decimal,
H\approx 31{,}633\\ \mathrm{m}.
(para conferência rápida: usar H=\tfrac{1}{2}gT^{2}=4{,}9\cdot T^{2} com T\approx2{,}540816 também dá H\approx31{,}633\\ \mathrm{m}.)

Passo 7

Verificação rápida e dica prática para prova: se o exercício permitir aproximar g\approx10\\ \mathrm{m/s^2}, a conta fica muito simples:
T=\frac{20}{10}+\tfrac{1}{2}=2{,}5\\ \mathrm{s},\qquad H=\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot(2{,}5)^{2}=31{,}25\\ \mathrm{m}.
Isso dá uma boa checagem mental (difere pouco do resultado com g=9{,}8).

Resposta

(a) H\approx 31{,}633\\ \mathrm{m}
(b) T=\dfrac{249}{98}\approx 2{,}540816\\ \mathrm{s}

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