Partículas de alumina de 20 um de diâmetro devem ser separadas de uma mistura com ar. A densidade da alumina é 4 e o ar está a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . O tempo que se dispõe para a sedimentação é de 30s. Determinar a altura da câmara para que as partículas possam sedimentar. Considerar a esfericidade igual a 0,806

Passo 1

O enunciado pede a altura de uma câmara de sedimentação para partículas de alumina (diâmetro d_p=20 \mu\mathrm{m}) em ar a 25^\circC e 1 atm, de modo que em t=30,s elas atinjam o fundo. Estamos no tema de sedimentação de partículas em fluido, usando a velocidade terminal no regime de Stokes corrigida pela esfericidade. Para resolver, precisamos de: densidade do sólido \rho_p, densidade e viscosidade do ar ( \rho_f, \mu), aceleração da gravidade g, diâmetro d_p, esfericidade \varphi=0,806 e tempo t.

Passo 2

Listamos e calculamos as propriedades do ar a 25^\circC e 1 atm:
\rho_f \approx 1{,}184,kg/ \mathrm{m}^{3},
\mu \approx 1{,}85\times10^{-5},Pa \cdots.
A densidade da alumina é \rho_p = 4\,\mathrm{g/cm^3}=4000,kg/ \mathrm{m}^{3}.
A diferença de densidades é
\Delta \rho = \rho_p - \rho_f = 4000 - 1{,}184 \approx 3998{,}8\text{ kg/m}^3.

Passo 3

No regime de Stokes (Reynolds muito pequeno), a velocidade terminal de uma partícula esférica é
v_{t,\text{esf}} = \frac{\Delta \rho\,g\,d_p^2}{18\,\mu}.
Antes, checamos se esse regime vale:
v_{t,\text{esf}}\approx \frac{3998{,}8\times9{,}81\times(20\times10^{-6})^2}{18\times1{,}85\times10^{-5}} \approx 4,71\times10^{-2}\text{ m/s}.
O número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\rho_f\,v_{t,\text{esf}}\,d_p}{\mu} \approx\frac{1{,}184\times0,0471\times20\times10^{-6}}{1{,}85\times10^{-5}} \approx0{,}03\ll1,
logo o regime de Stokes vale.

Passo 4

Para partícula não esférica usamos o fator de forma dinâmico
\chi \approx \frac{1}{\varphi} = \frac{1}{0,806}\approx1,241.
A velocidade terminal corrigida é
v_t = \frac{v_{t,\text{esf}}}{\chi} \approx \frac{0,0471}{1,241} \approx 0,0380\text{ m/s}.

Passo 5

A altura H necessária para que a partícula percorra a coluna em t=30,s é
H = v_t\,t \approx 0,0380\times30 \approx 1,14\text{ m}.

Resposta

A altura da câmara deve ser aproximadamente 1{,}14,m.

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