Suponha que num trem com velocidade constante de
haja um pêndulo oscilando, cujo período, medido no interior do trem, é de
. (Dado: velocidade da luz no vácuo:
.)
Qual o tempo de oscilação desse pêndulo medido por um observador na plataforma da estação?
Qual o tempo de oscilação desse pêndulo medido por um observador na plataforma da estação?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei
do enunciado):
- Velocidade do trem:
. - Período do pêndulo medido no interior do trem (tempo próprio):
. - Velocidade da luz:
.
O que é pedido:
- Encontrar o período do pêndulo medido por um observador na plataforma da estação (ou seja, o tempo dilatado
visto por quem vê o trem em movimento).
Passo 2
Conceito que vamos usar (pequena “aula”): teoria da relatividade restrita diz que um relógio em movimento em relação a um observador corre mais devagar. A relação entre o tempo próprio
(tempo medido no referencial onde o relógio está em repouso) e o tempo
medido por um observador que vê o relógio movendo-se com velocidade
é a fórmula da dilatação do tempo:
Aqui:
-
é o tempo próprio (aqui ); -
é o tempo dilatado que queremos calcular; -
é o fator de Lorentz, que depende da velocidade relativa .
Passo 3
Fórmula do fator de Lorentz (ou fator gamma):
Explicando as variáveis:
-
é a velocidade relativa entre os referenciais (aqui ); -
é a velocidade da luz no vácuo (aqui ); -
é o quadrado da razão entre as velocidades; quando esse quociente é muito pequeno e fica muito próximo de .
Passo 4
Calcular
e
:
Passo 5
Calcular
. Como
é extremamente pequeno, pode-se usar a aproximação binomial para raiz quadrada ou calcular diretamente. Mostro a aproximação (mais simples para fazer na prova):
Substituindo
:
Numericamente:
Passo 6
Agora aplicamos a dilatação do tempo
. Com
:
Portanto
A diferença entre os tempos é
, um valor absolutamente desprezível na prática.
Passo 7
Interpretação final (rapidinha, para encorajar): o observador da plataforma vê o pêndulo oscilar por um tempo ligeiramente maior que
por causa da dilatação do tempo relativística, mas o efeito é tão pequeno a
que, para qualquer finalidade prática, o período é indistinguível de
. Força aí — a conta é simples e é isso que espera cair numa prova: reconhecer a fórmula da dilatação e avaliar
.