Suponha que num trem com velocidade constante de 360 \mathrm{~km} / \mathrm{h}(100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) haja um pêndulo oscilando, cujo período, medido no interior do trem, é de 2,0 \mathrm{~s}. (Dado: velocidade da luz no vácuo: c= 3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.)
Qual o tempo de oscilação desse pêndulo medido por um observador na plataforma da estação?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei c do enunciado):
  • Velocidade do trem: v = 100\\ \mathrm{m/s}.
  • Período do pêndulo medido no interior do trem (tempo próprio): \Delta \tau = 2{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade da luz: c = 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O que é pedido:
  • Encontrar o período do pêndulo medido por um observador na plataforma da estação (ou seja, o tempo dilatado \Delta t visto por quem vê o trem em movimento).

Passo 2

Conceito que vamos usar (pequena “aula”): teoria da relatividade restrita diz que um relógio em movimento em relação a um observador corre mais devagar. A relação entre o tempo próprio \Delta \tau (tempo medido no referencial onde o relógio está em repouso) e o tempo \Delta t medido por um observador que vê o relógio movendo-se com velocidade v é a fórmula da dilatação do tempo:
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau.
Aqui:
  • \Delta \tau é o tempo próprio (aqui \,2{,}0\\ \mathrm{s}\,);
  • \Delta t é o tempo dilatado que queremos calcular;
  • \gamma é o fator de Lorentz, que depende da velocidade relativa v.

Passo 3

Fórmula do fator de Lorentz (ou fator gamma):
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicando as variáveis:
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais (aqui 100\\ \mathrm{m/s});
  • c é a velocidade da luz no vácuo (aqui 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s});
  • v^{2}/c^{2} é o quadrado da razão entre as velocidades; quando v\ll c esse quociente é muito pequeno e \gamma fica muito próximo de 1.

Passo 4

Calcular \dfrac{v}{c} e \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
\frac{v}{c}=\frac{100}{3{,}0\times10^{8}}=3{,}333\ldots\times10^{-7}.
\frac{v^{2}}{c^{2}}=\left(3{,}333\ldots\times10^{-7}\right)^{2}=1{,}111\ldots\times10^{-13}.

Passo 5

Calcular \gamma. Como \dfrac{v^{2}}{c^{2}} é extremamente pequeno, pode-se usar a aproximação binomial para raiz quadrada ou calcular diretamente. Mostro a aproximação (mais simples para fazer na prova):
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}\approx 1+\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}.
Substituindo \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1{,}111\ldots\times10^{-13}:
\gamma \approx 1 + \tfrac{1}{2}\times1{,}111\ldots\times10^{-13}=1 + 5{,}555\ldots\times10^{-14}.
Numericamente:
\gamma \approx 1{,}0000000000000556.

Passo 6

Agora aplicamos a dilatação do tempo \Delta t=\gamma\,\Delta \tau. Com \Delta \tau=2{,}0\\ \mathrm{s}:
\Delta t \approx 2{,}0\times\left(1 + 5{,}555\ldots\times10^{-14}\right)=2{,}0 + 1{,}111\ldots\times10^{-13}\\ \mathrm{s}.
Portanto
\Delta t \approx 2{,}000000000000111\\ \mathrm{s}.
A diferença entre os tempos é \Delta t-\Delta \tau\approx 1{,}11\times10^{-13}\\ \mathrm{s}, um valor absolutamente desprezível na prática.

Passo 7

Interpretação final (rapidinha, para encorajar): o observador da plataforma vê o pêndulo oscilar por um tempo ligeiramente maior que 2{,}0\\ \mathrm{s} por causa da dilatação do tempo relativística, mas o efeito é tão pequeno a 100\\ \mathrm{m/s} que, para qualquer finalidade prática, o período é indistinguível de 2{,}0\\ \mathrm{s}. Força aí — a conta é simples e é isso que espera cair numa prova: reconhecer a fórmula da dilatação e avaliar \gamma.

Resposta

\,2{,}000000000000111\\ \mathrm{s}

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