Uma fina placa quadrada de naftalina, de 15 cm de lado, é testada num túnel de vento com ar a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 1 \mathrm{~atm} e 38^{\circ} \mathrm{C}, escoando paralelamente à mesma. A força de arraste total medida é de 0,1 \mathrm{~N}. Calcular a vazão molar de evaporação da naftalina, sabendo-se que sua difusividade no ar a 38^{\circ} \mathrm{C} vale 6,25 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e que a sua pressão de vapor nesta mesma temperatura vale 0,25 \mathrm{mmHg}. Utilizar no cálculo: Dados: \mu=1,9 \times 10^{-4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=1,135 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
a analogia de Von Kárman.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a vazão molar de evaporação da naftalina (ou seja, quantos mols por segundo deixam a placa para o ar).
Informações fornecidas (vou listar todas as que vamos usar):
  • Placa quadrada de lado 15\\ \mathrm{cm} (logo a área de cada face é 0,15\times0,15\\ \mathrm{m}^2).
  • Velocidade do ar U=30\\ \mathrm{m/s}.
  • Força de arraste total medida F_d=0{,}1\\ \mathrm{N}.
  • Temperatura 38^\circ\mathrm{C} (ou seja T=311{,}15\\ \mathrm{K}).
  • Pressão de vapor da naftalina p_{sat}=0{,}25\\ \mathrm{mmHg}.
  • Difusividade da naftalina no ar D=6{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Viscosidade dinâmica do ar \mu=1{,}9\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}.
  • Densidade do ar \rho=1{,}135\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Usar a analogia de Von Kármán (Chilton–Colburn) para relacionar atrito (momento) com transferência de massa.
Observações que já extraio do enunciado:
  • A placa é fina: a evaporação ocorre nas duas faces planas. Vou considerar que a área efetiva de troca é a soma das duas faces (as bordas são desprezíveis).
  • Pressão total do ar é 1 atm, mas para concentração da naftalina usamos a pressão de vapor (assumimos ar praticamente sem naftalina, logo gradiente é C_s-C_\infty\approx C_s).

Passo 2

Calcular grandezas físicas intermediárias úteis.
  • Área de uma face:
A_{\text{face}}=(0{,}15)^2=0{,}0225\\ \mathrm{m}^2.
  • Área total das duas faces (evaporação em ambas):
A=2\,A_{\text{face}}=2\times0{,}0225=0{,}045\\ \mathrm{m}^2.
  • viscosidade cinemática do ar \nu=\dfrac{\mu}{\rho}. Explico: \mu é a viscosidade dinâmica (kg/m·s) e \nu é a viscosidade cinemática (m^2/s), usada para formar o número de Schmidt e Reynolds.
\nu=\dfrac{1{,}9\times10^{-4}}{1{,}135}=1{,}674\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 3

Achar o coeficiente de atrito global (coeficiente de fricção) a partir da força de arraste medida.
  • Pressão dinâmica:
\frac{1}{2}\rho U^2=\frac{1}{2}\times1{,}135\times(30)^2=510{,}75\\ \mathrm{Pa}.
  • Definição usada para o coeficiente de fricção superficial global c_f: é a tensão de cisalhamento média dividida pela pressão dinâmica; usando força total de arraste,
c_f=\dfrac{F_d}{\tfrac{1}{2}\rho U^2 A}.
Explico: F_d é a força de atrito total (N), A é a área sobre a qual esse atrito atua (m^2), e \tfrac{1}{2}\rho U^2 é a referência dinâmico de pressão. Substituindo:
c_f=\dfrac{0{,}1}{510{,}75\times0{,}045}=4{,}350\times10^{-3}.

Passo 4

Aplicar a analogia de Von Kármán / Chilton–Colburn para passar de atrito (momento) para transferência de massa.
Explicação da analogia (didática):
  • A analogia relaciona a taxa de transferência (calor ou massa) com o atrito por uma quantidade chamada fator de Chilton–Colburn j.
  • Para massa, define-se o número de Stanton de massa St_m e o fator de resistência de massa j_m pela relação
j_m = St_m\;Sc^{2/3},
onde Sc é o número de Schmidt Sc=\dfrac{\nu}{D}, e
St_m=\dfrac{k_c}{U},
sendo k_c o coeficiente convectivo de transferência de massa (m/s) e U a velocidade do escoamento (m/s).
  • A analogia de Chilton–Colburn dá que para escoamentos turbulentos e muitos casos práticos:
j_m=\dfrac{c_f}{2}.
(ou seja, o fator j_m é aproximadamente metade do coeficiente de fricção superficial global c_f que calculamos).
Agora calculamos passo a passo:
  • Número de Schmidt:
Sc=\dfrac{\nu}{D}=\dfrac{1{,}674\times10^{-4}}{6{,}25\times10^{-6}}=26{,}78.
  • Potência Sc^{2/3}. Explico: elevamos Sc à potência 2/3 conforme a fórmula acima:
Sc^{2/3}\approx8{,}958.
  • Fator de Chilton–Colburn para massa:
j_m=\dfrac{c_f}{2}=\dfrac{4{,}350\times10^{-3}}{2}=2{,}175\times10^{-3}.
  • Número de Stanton de massa:
St_m=\dfrac{j_m}{Sc^{2/3}}=\dfrac{2{,}175\times10^{-3}}{8{,}958}=2{,}428\times10^{-4}.
  • Coeficiente convectivo de massa k_c (m/s):
k_c = St_m\,U = 2{,}428\times10^{-4}\times30 =7{,}283\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: k_c é a velocidade efetiva de remoção de mols por unidade de concentração (m/s). É análogo ao coeficiente de transferência de calor, só que para massa.

Passo 5

Calcular a concentração molar da naftalina na superfície e o fluxo molar por unidade de área.
  • Converter p_{sat} de \mathrm{mmHg} para \mathrm{Pa}. Explico: 1\\ \mathrm{mmHg}=133{,}322\\ \mathrm{Pa}.
p_{sat}=0{,}25\times133{,}322=33{,}3305\\ \mathrm{Pa}.
  • Concentração molar da naftalina saturada na superfície C_s usando lei dos gases ideais (assumimos gás ideal para o vapor diluído):
C_s=\dfrac{p_{sat}}{R\,T},
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T=311{,}15\\ \mathrm{K}. Substituindo:
C_s=\dfrac{33{,}3305}{8{,}314\times311{,}15}=0{,}01287\\ \mathrm{mol/m}^3.
  • Explicação do gradiente: como o ar é praticamente limpo de naftalina distante da placa, tomamos C_\infty\approx0, então o gradiente é C_s-C_\infty\approx C_s.
  • Fluxo molar por unidade de área (fluxo superficial):
\dot{N}''=k_c\,(C_s-C_\infty)\approx k_c\,C_s.
Substituindo os números:
\dot{N}''=7{,}283\times10^{-3}\times0{,}01287=9{,}38\times10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.

Passo 6

Calcular a vazão molar total multiplicando pelo área total de evaporação.
  • Vazão molar total:
\dot{N}=\dot{N}''\;A=9{,}38\times10^{-5}\times0{,}045=4{,}22\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/s}.
Verificação rápida de ordem de grandeza: pressão de vapor pequena e área limitada => vazão muito pequena, resultado coerente.

Resposta

4{,}22\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/s}

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