Ar a 38^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm escoa sobre uma esfera de material volátil. Considerando-se que a pressão de vapor deste material é de 5 mmHg e que nas condições desse escoamento o coeficiente de transferência de calor vale 142 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, determinar o fluxo de massa do material a ser seco.
Dados: \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=9,56 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \mu=1,88 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=1,13 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{C}_{\mathrm{p}}= 1013 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ; \mathrm{k}=0,027 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de massa do material volátil que está sendo evaporado por convecção quando o ar a \,38^\circ\mathrm{C}\, e 1\\ \mathrm{atm} escoa sobre uma esfera. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
\begin{aligned} &T_\infty = 38^\circ\mathrm{C} = 311{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &p_\text{tot} &= 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa},\\\ &p_{v,\text{sat}} &= 5\\ \mathrm{mmHg} = 5\cdot133{,}322\\ \mathrm{Pa}=666{,}61\\ \mathrm{Pa},\\\ &h &= 142\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}},\\\ &D_{AB} &= 9{,}56\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}},\\\ &\mu &= 1{,}88\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}},\\\ &\rho &= 1{,}13\\ \mathrm{kg\,m^{-3}},\\\ &C_p &= 1013\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}},\\\ &k\\ (\text{condutividade do ar}) &= 0{,}027\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}. \end{aligned}
O que o enunciado pergunta: determinar o fluxo de massa do material a ser seco. Observação prática: como não foi dado o raio da esfera, vou calcular o fluxo por unidade de área da superfície (isto é, fluxo por \mathrm{m^2} da superfície), que é o resultado usual neste tipo de problema. Também vou assumir que a concentração de vapor longe da superfície é desprezível (ar inicialmente seco), logo somente a concentração saturada na superfície entra na diferença de concentração.

Passo 2

Como pensamos em evaporação limitada por convecção de massa, a taxa de evaporação por unidade de área é dada pela lei de transporte convectivo:
\dot{N}'' = k_c\,\bigl(C_{A,s}-C_{A,\infty}\bigr),
onde:
  • \dot{N}'' é o fluxo molar de vapor (mol,m{-2},s{-1}),
  • k_c é o coeficiente de transferência de massa convectivo (m,s^{-1}) para concentração molar,
  • C_{A,s} e C_{A,\infty} são as concentrações molares do vapor na superfície e no escoamento distante (mol,m^{-3}).
Aqui adotamos C_{A,\infty}\approx 0 (ar praticamente seco). Então \dot{N}''=k_c\,C_{A,s}.
Precisamos estimar k_c. Não temos velocidade ou geometria, mas temos o coeficiente de troca térmica h. Para escoamentos gasosos existe a analogia calor–massa (Colburn / Chilton–Colburn), que permite relacionar coeficientes:
\text{j-factor:}\quad j_H = \mathrm{St}_H\,\mathrm{Pr}^{2/3},\qquad j_M = \mathrm{St}_M\,\mathrm{Sc}^{2/3},
e a analogia afirma j_H = j_M. Aqui
\mathrm{St}_H=\frac{h}{\rho\,C_p\,U},\qquad \mathrm{St}_M=\frac{k_c}{U},
com U velocidade característica; ao igualar j_H e j_M o U cancela e obtemos a relação prática (usada em muitos problemas):
k_c = \frac{h}{\rho\,C_p}\left(\frac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Sc}}\right)^{2/3}.
Explico as grandezas usadas:
  • \mathrm{Pr} (número de Prandtl) mede a razão entre difusividade de momento e difusividade térmica:
\mathrm{Pr}=\frac{C_p\,\mu}{k}.
  • \mathrm{Sc} (número de Schmidt) mede a razão entre difusividade de momento e difusividade de massa:
\mathrm{Sc}=\frac{\mu}{\rho\,D_{AB}}.
Ambos são adimensionais; a potência 2/3 vem da forma empírica da analogia de Chilton–Colburn (válida para muitos escoamentos convectivos turbulentos/laminares típicos). Essa fórmula nos dá k_c em m,s^{-1} consistente com usar C_A em mol,m^{-3} para obter \dot{N}'' em mol,m{-2},s{-1}.

Passo 3

Calcular \mathrm{Pr} e \mathrm{Sc} com os dados:
\mathrm{Pr}=\frac{C_p\,\mu}{k} =\frac{1013\cdot 1{,}88\times10^{-5}}{0{,}027} =\frac{0{,}0190544}{0{,}027} =0{,}705348\\ \text{(adimensional)}.
\mathrm{Sc}=\frac{\mu}{\rho\,D_{AB}} =\frac{1{,}88\times10^{-5}}{1{,}13\cdot 9{,}56\times10^{-6}} =\frac{1{,}88\times10^{-5}}{1{,}08028\times10^{-5}} =1{,}7402\\ \text{(adimensional)}.

Passo 4

Agora calculo o fator \left(\dfrac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Sc}}\right)^{2/3}:
\frac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Sc}}=\frac{0{,}705348}{1{,}7402}=0{,}40546, \qquad \left(\frac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Sc}}\right)^{2/3}=0{,}40546^{2/3}=0{,}5478\\ (\text{aprox.}).
Calculo h/(\rho C_p):
\frac{h}{\rho\,C_p}=\frac{142}{1{,}13\cdot 1013}=\frac{142}{1144{,}69}=0{,}124108\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Logo:
k_c=\frac{h}{\rho\,C_p}\left(\frac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Sc}}\right)^{2/3} =0{,}124108\cdot 0{,}5478 =0{,}06797\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 5

Obter a concentração molar saturada na superfície C_{A,s} a partir da pressão parcial de vapor usando a lei dos gases ideais:
C_{A,s}=\frac{p_{v,\text{sat}}}{R_u\,T},
onde R_u=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e T=311{,}15\\ \mathrm{K}. Substituindo:
C_{A,s}=\frac{666{,}61}{8{,}314\cdot 311{,}15} =\frac{666{,}61}{2588{,}67} =0{,}25749\\ \mathrm{mol\,m^{-3}}.
(Assumi C_{A,\infty}\approx 0.)

Passo 6

Cálculo do fluxo molar por unidade de área:
\dot{N}'' = k_c\,C_{A,s}=0{,}06797\cdot 0{,}25749 =0{,}01750\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}.
Se o enunciado pedisse o fluxo de massa em termos de massa (kg), converte-se multiplicando pela massa molar M do material (em \mathrm{kg\,mol^{-1}}):
\dot{m}''=\dot{N}''\cdot M = 0{,}01750\cdot M\\ \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}.
Como o enunciado não forneceu a massa molar do material volátil, deixo a resposta em molar e em função de M.

Resposta

\dot{N}''=0{,}01750\\ \mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}
\dot{m}''=0{,}01750\cdot M\\ \mathrm{kg\;m^{-2}\;s^{-1}} (sendo M a massa molar do material, em \mathrm{kg\,mol^{-1}}).

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