Partindo da equação geral do balanço de energia, chegue à equação geral de balanço de energia em termos de cargas. Apresente todas as unidades de ambas as equações.

Passo 1

O enunciado pede: partir da equação geral do balanço de energia e chegar à equação geral do balanço de energia “em termos de cargas” (isto é, explicitando a contribuição das cargas externas: forças de volume e tração de superfície) e apresentar todas as unidades de ambas as equações.
Informações relevantes que vamos usar (já listadas para não pular nada):
  • volume material móvel: V(t) (m³);
  • superfície do volume: \partial V(t) (m²);
  • densidade de massa: \rho com unidade \mathrm{kg\cdot m^{-3}};
  • velocidade do material: \mathbf{v}(\mathbf{x},t) com unidade \mathrm{m\cdot s^{-1}};
  • aceleração: \mathbf{a}=D\mathbf{v}/Dt com unidade \mathrm{m\cdot s^{-2}};
  • energia interna por unidade de massa: e com unidade \mathrm{J\cdot kg^{-1}};
  • energia cinética por unidade de massa: \tfrac{1}{2}\mathbf{v}^2 com unidade \mathrm{J\cdot kg^{-1}} (porque \mathrm{m^2\cdot s^{-2}}=\mathrm{J\cdot kg^{-1}});
  • energia total por unidade de massa (usada inicialmente): E = e + \tfrac{1}{2}\mathbf{v}^2 com unidade \mathrm{J\cdot kg^{-1}};
  • vetor fluxo de calor (densidade de fluxo térmico): \mathbf{q} com unidade \mathrm{W\cdot m^{-2}}=\mathrm{J\cdot s^{-1}\cdot m^{-2}};
  • tração superficial (força por área na superfície): \mathbf{t} com unidade \mathrm{N\cdot m^{-2}}=\mathrm{Pa};
  • tensor de tensões: \boldsymbol{\sigma} com unidade \mathrm{Pa};
  • corpo de força por unidade de massa (gravidade, por ex.): \mathbf{b} com unidade \mathrm{m\cdot s^{-2}} (logo \rho\mathbf{b} tem unidade \mathrm{N\cdot m^{-3}});
  • fonte volumétrica de calor por unidade de massa: r com unidade \mathrm{W\cdot kg^{-1}}=\mathrm{J\cdot s^{-1}\cdot kg^{-1}} (logo \rho r tem unidade \mathrm{W\cdot m^{-3}}).
Pronto — agora sabemos o que o problema pede e quais quantidades vamos manipular. Não vamos resolver nada aqui ainda.

Passo 2

Escrevo a equação integral geral do balanço de energia (forma que é muito usada em mecânica dos contínuos): a taxa de variação temporal da energia total do volume material é igual à soma das potências entregues por forças externas mais o calor fornecido. Em forma integral:
\frac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho\, E \, dV \;=\; \int_{V(t)} \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v}\, dV \;+\; \int_{\partial V(t)} \mathbf{t}\cdot\mathbf{v}\, dS \;-\; \int_{\partial V(t)} \mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\, dS \;+\; \int_{V(t)} \rho\, r\, dV .
Explicação de cada termo e unidades:
  • lado esquerdo: \dfrac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho E\, dV é a taxa de variação da energia total contida em V(t). Unidade: \mathrm{J\cdot s^{-1}}=\mathrm{W}. Porque \rho E tem unidade \mathrm{J\cdot m^{-3}} e integral em volume dá \mathrm{J}; derivada em relação ao tempo dá \mathrm{J\cdot s^{-1}}.
  • \int_{V(t)} \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v}\, dV é a potência das forças de corpo (por ex. gravidade). Unidade: \mathrm{(kg\cdot m^{-3})\cdot (m\cdot s^{-2})\cdot(m\cdot s^{-1})\cdot m^3 = J\cdot s^{-1}}.
  • \int_{\partial V(t)} \mathbf{t}\cdot\mathbf{v}\, dS é a potência das traçãoes de superfície (forças aplicadas na superfície). Unidade: \mathrm{(N\cdot m^{-2})\cdot(m\cdot s^{-1})\cdot m^2 = J\cdot s^{-1}}.
  • -\int_{\partial V(t)} \mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\, dS representa o calor que sai pela superfície (sinal negativo se sai). Unidade: \mathrm{W}.
  • \int_{V(t)} \rho\, r\, dV é potência térmica gerada internamente (fonte volumétrica). Unidade: \mathrm{W}.
Esta é a equação geral do balanço de energia em forma integral, já exibindo explicitamente as potências associadas às cargas externas ( \mathbf{b} e \mathbf{t}) e ao fluxo de calor e fonte interna.

Passo 3

Relacionamentos úteis que vamos usar para transformar a forma integral em forma local (pontual) e para escrever “em termos de cargas”:
  1. tração superficial em termos do tensor de tensões:
\mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},
onde \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões ( \mathrm{Pa}) e \mathbf{n} é a normal externa à superfície ( adimensional ).
  1. Teorema da divergência (Gauss) para passar integrais de superfície para volume:
\int_{\partial V} \mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\, dS = \int_{V} \nabla\cdot\mathbf{q}\, dV, \qquad \int_{\partial V} \mathbf{t}\cdot\mathbf{v}\, dS = \int_{V} \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v})\, dV.
(A segunda identidade usa componente a componente: \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v}) = \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}), que usaremos adiante; aqui “:” é a contração dupla entre tensores.)
Unidades de cada divergente: \nabla\cdot\mathbf{q} tem unidade \mathrm{W\cdot m^{-3}} e \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v}) tem unidade \mathrm{W\cdot m^{-3}} (pois integrando sobre volume retorna \mathrm{W}).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de transporte (Reynolds) para um volume material V(t) que se move com o fluido/corpo: para um campo escalar \varphi,
\frac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho\, \varphi\, dV = \int_{V(t)} \rho\, \frac{D\varphi}{Dt}\, dV,
desde que se use o volume material (o qual move-se com a velocidade \mathbf{v}). Em particular, para \varphi=E,
\frac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho\, E\, dV = \int_{V(t)} \rho\, \frac{D E}{Dt}\, dV.
Unidades: \rho\frac{D E}{Dt} tem unidade \mathrm{kg\cdot m^{-3}\cdot (J\cdot kg^{-1}\cdot s^{-1}) = J\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}}, ou seja \mathrm{W\cdot m^{-3}} quando integrado em volume dá \mathrm{W}.

Passo 5

Substituímos as transformações do Passo 3 e o resultado do Passo 4 na equação integral do Passo 2. Dessa forma obtemos uma igualdade de integrais em volume (todas as integrais sobre V(t)):
\int_{V(t)} \rho\, \frac{D E}{Dt}\, dV = \int_{V(t)} \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v}\, dV + \int_{V(t)} \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v})\, dV - \int_{V(t)} \nabla\cdot\mathbf{q}\, dV + \int_{V(t)} \rho\, r\, dV.
Reagrupando:
\int_{V(t)} \left[ \rho\, \frac{D E}{Dt} - \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} - \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v}) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \rho\, r \right] dV = 0.
Como V(t) é arbitrário (podemos escolher volumes materiais arbitrários), o integrando deve ser zero ponto a ponto, o que nos dá a forma local (pontual):
\rho\, \frac{D E}{Dt} = \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v}) - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho\, r .
Unidades de cada termo: todos têm unidade \mathrm{W\cdot m^{-3}} (potência por volume).

Passo 6

Agora vamos separar a energia total E em energia interna e e energia cinética \tfrac{1}{2}\mathbf{v}^2:
E = e + \tfrac{1}{2}\mathbf{v}^2.
Aplicando a derivada material:
\rho\,\frac{D E}{Dt} = \rho\,\frac{D e}{Dt} + \rho\,\mathbf{v}\cdot\frac{D\mathbf{v}}{Dt}.
Lembre que \dfrac{D\mathbf{v}}{Dt}=\mathbf{a} (aceleração). Substituímos essa identidade na forma local obtida no Passo 5:
\rho\,\frac{D e}{Dt} + \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} = \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v}) - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho\, r.

Passo 7

Expandimos \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v}) usando a regra do produto (identidade tensorial):
\nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}^T\mathbf{v}) = \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}).
Aqui \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v} é a contração dupla (soma dos produtos componente a componente), e tem interpretação física de taxa volumétrica de trabalho interno (potência interna por volume). Unidade: \mathrm{Pa\cdot s^{-1} = W\cdot m^{-3}}.
Substituindo na equação do Passo 6:
\rho\,\frac{D e}{Dt} + \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} = \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}) - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho\, r.

Passo 8

Usamos o balanço do momento linear (equação de Cauchy da quantidade de movimento),
\rho\,\mathbf{a} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\,\mathbf{b}.
Dessa identidade segue que
\mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}) = \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} - \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}.
Substituímos esse resultado na equação do Passo 7; observe que os termos \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} e -\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{b} vão eliminar com os termos do lado esquerdo e do lado direito respectivamente:
escrevendo tudo,
\rho\,\frac{D e}{Dt} + \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} = \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v} + \big(\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} - \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}\big) - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho\, r.
Agora cancelei \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} dos dois lados e também \rho\,\mathbf{b}\cdot\mathbf{v} com -\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}, sobrando:

Passo 9

Obtemos a forma local do balanço de energia em termos da energia interna (equação pontual clássica):
\boxed{\; \rho\,\frac{D e}{Dt} \;=\; \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v} \;-\; \nabla\cdot\mathbf{q} \;+\; \rho\, r \;}
Interpretação física dos termos (todos com unidade \mathrm{W\cdot m^{-3}}):
  • \rho \dfrac{D e}{Dt}: taxa de aumento da energia interna por unidade de volume;
  • \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v}: taxa de trabalho das tensões por unidade de volume (mecanismo que converte trabalho mecânico em energia interna — “dissipação” / taxa de deformação multiplicada por tensões);
  • -\nabla\cdot\mathbf{q}: entrada líquida de calor por condução por unidade de volume (se \nabla\cdot\mathbf{q}<0, calor entra);
  • \rho r: geração volumétrica de calor (por reação química, aquecimento interno, etc.).

Passo 10

Voltando à forma integral “em termos de cargas” (isto é, escrevendo explicitamente as contribuições das cargas externas na forma integral), temos a equação inicial do Passo 2 que já está em termos de cargas:
\boxed{\; \frac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho\, E \, dV \;=\; \int_{V(t)} \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v}\, dV \;+\; \int_{\partial V(t)} \mathbf{t}\cdot\mathbf{v}\, dS \;-\; \int_{\partial V(t)} \mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\, dS \;+\; \int_{V(t)} \rho\, r\, dV \;}
Aqui:
  • \int_{V(t)} \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v}\, dV é a potência das forças de corpo (carga volumétrica);
  • \int_{\partial V(t)} \mathbf{t}\cdot\mathbf{v}\, dS é a potência das traçãoes na superfície (carga superficial);
  • os termos de calor aparecem explicitamente ( \mathbf{q} e r). Todas as integrais têm unidade \mathrm{W}.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho\, E \, dV = \int_{V(t)} \rho\, \mathbf{b}\cdot\mathbf{v}\, dV + \int_{\partial V(t)} \mathbf{t}\cdot\mathbf{v}\, dS - \int_{\partial V(t)} \mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\, dS + \int_{V(t)} \rho\, r\, dV (unidade: \mathrm{W} para cada termo)
\displaystyle \rho\,\frac{D e}{Dt} = \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{v} - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho\, r (unidade: \mathrm{W\cdot m^{-3}} para cada termo)

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