Partindo da equação geral do balanço de energia, chegue à equação geral de balanço de energia em termos de cargas. Apresente todas as unidades de ambas as equações.
Passo 1
O enunciado pede: partir da equação geral do balanço de energia e chegar à equação geral do balanço de energia “em termos de cargas” (isto é, explicitando a contribuição das cargas externas: forças de volume e tração de superfície) e apresentar todas as unidades de ambas as equações.
Informações relevantes que vamos usar (já listadas para não pular nada):
Informações relevantes que vamos usar (já listadas para não pular nada):
- volume material móvel:
(m³); - superfície do volume:
(m²); - densidade de massa:
com unidade ; - velocidade do material:
com unidade ; - aceleração:
com unidade ; - energia interna por unidade de massa:
com unidade ; - energia cinética por unidade de massa:
com unidade (porque ); - energia total por unidade de massa (usada inicialmente):
com unidade ; - vetor fluxo de calor (densidade de fluxo térmico):
com unidade ; - tração superficial (força por área na superfície):
com unidade ; - tensor de tensões:
com unidade ; - corpo de força por unidade de massa (gravidade, por ex.):
com unidade (logo tem unidade ); - fonte volumétrica de calor por unidade de massa:
com unidade (logo tem unidade ).
Pronto — agora sabemos o que o problema pede e quais quantidades vamos manipular. Não vamos resolver nada aqui ainda.
Passo 2
Escrevo a equação integral geral do balanço de energia (forma que é muito usada em mecânica dos contínuos): a taxa de variação temporal da energia total do volume material é igual à soma das potências entregues por forças externas mais o calor fornecido. Em forma integral:
Explicação de cada termo e unidades:
- lado esquerdo:
é a taxa de variação da energia total contida em . Unidade: . Porque tem unidade e integral em volume dá ; derivada em relação ao tempo dá . -
é a potência das forças de corpo (por ex. gravidade). Unidade: . -
é a potência das traçãoes de superfície (forças aplicadas na superfície). Unidade: . -
representa o calor que sai pela superfície (sinal negativo se sai). Unidade: . -
é potência térmica gerada internamente (fonte volumétrica). Unidade: .
Esta é a equação geral do balanço de energia em forma integral, já exibindo explicitamente as potências associadas às cargas externas (
e
) e ao fluxo de calor e fonte interna.
Passo 3
Relacionamentos úteis que vamos usar para transformar a forma integral em forma local (pontual) e para escrever “em termos de cargas”:
- tração superficial em termos do tensor de tensões:
onde
é o tensor de tensões (
) e
é a normal externa à superfície (
adimensional
.
- Teorema da divergência (Gauss) para passar integrais de superfície para volume:
(A segunda identidade usa componente a componente:
, que usaremos adiante; aqui “:” é a contração dupla entre tensores.)
Unidades de cada divergente:
tem unidade
e
tem unidade
(pois integrando sobre volume retorna
).
Passo 4
Aplicamos a fórmula de transporte (Reynolds) para um volume material
que se move com o fluido/corpo: para um campo escalar
,
desde que se use o volume material (o qual move-se com a velocidade
). Em particular, para
,
Unidades:
tem unidade
, ou seja
quando integrado em volume dá
.
Passo 5
Substituímos as transformações do Passo 3 e o resultado do Passo 4 na equação integral do Passo 2. Dessa forma obtemos uma igualdade de integrais em volume (todas as integrais sobre
):
Reagrupando:
Como
é arbitrário (podemos escolher volumes materiais arbitrários), o integrando deve ser zero ponto a ponto, o que nos dá a forma local (pontual):
Unidades de cada termo: todos têm unidade
(potência por volume).
Passo 6
Agora vamos separar a energia total
em energia interna
e energia cinética
:
Aplicando a derivada material:
Lembre que
(aceleração). Substituímos essa identidade na forma local obtida no Passo 5:
Passo 7
Expandimos
usando a regra do produto (identidade tensorial):
Aqui
é a contração dupla (soma dos produtos componente a componente), e tem interpretação física de taxa volumétrica de trabalho interno (potência interna por volume). Unidade:
.
Substituindo na equação do Passo 6:
Passo 8
Usamos o balanço do momento linear (equação de Cauchy da quantidade de movimento),
Dessa identidade segue que
Substituímos esse resultado na equação do Passo 7; observe que os termos
e
vão eliminar com os termos do lado esquerdo e do lado direito respectivamente:
escrevendo tudo,
escrevendo tudo,
Agora cancelei
dos dois lados e também
com
, sobrando:
Passo 9
Obtemos a forma local do balanço de energia em termos da energia interna (equação pontual clássica):
Interpretação física dos termos (todos com unidade
):
-
: taxa de aumento da energia interna por unidade de volume; -
: taxa de trabalho das tensões por unidade de volume (mecanismo que converte trabalho mecânico em energia interna — “dissipação” / taxa de deformação multiplicada por tensões); -
: entrada líquida de calor por condução por unidade de volume (se , calor entra); -
: geração volumétrica de calor (por reação química, aquecimento interno, etc.).
Passo 10
Voltando à forma integral “em termos de cargas” (isto é, escrevendo explicitamente as contribuições das cargas externas na forma integral), temos a equação inicial do Passo 2 que já está em termos de cargas:
Aqui:
-
é a potência das forças de corpo (carga volumétrica); -
é a potência das traçãoes na superfície (carga superficial); - os termos de calor aparecem explicitamente (
e ). Todas as integrais têm unidade .