Partindo da equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido, encontre a a equação horária para os casos de:
Amortecimento subcrítico;

Passo 1

Estamos estudando a equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido, cuja forma geral é
md^2xdt^2 + bdxdt + kx = 0,
onde m é a massa, b o coeficiente de amortecimento e k a constante elástica. Queremos resolver esse ODE no caso de amortecimento subcrítico, ou seja, quando b^2 < 4mk. Vamos usar solução de equações lineares a coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à ODE, trocando x(t)to e^lambda t:
mlambda^2 + blambda + k = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes lambda.

Passo 3

Como b^2 < 4mk, o discriminante fica negativo:
De<a = b^2 - 4mk < 0
Logo as raízes são complexas conjugadas:
lambda1,2 = -b2m pm i,raiz4mk - b^22m

Passo 4

Definimos
gamma = b2m, omega0 = raizkm, omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz4mk - b^22m
Como as raízes são -gamma pm iomegad, a solução geral é
x(t) = e^-gamma tl(C1cos(omegadt) + C2sin(omegadt)r),
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

É comum escrever essa solução em forma de amplitude e fase:
x(t) = A,e^-gamma tcosl(omegadt - varphir),
com
A = raizC1^2 + C2^2, varphi = arctan!l(tfracC2C1r)

Resposta

x(t) = e^-b2mtl(C1cos(omegadt) + C2sin(omegadt)r), omegad = raizkm - l(b2mr)^2

Exercícios relacionados