Partindo da equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido, encontre a a equação horária para os casos de:
amortecimento crítico.
amortecimento crítico.
Passo 1
O enunciado pede a solução horária
do oscilador harmônico amortecido no caso de amortecimento crítico. O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando o método da equação característica.
Passo 2
Começamos da equação de movimento
Dividindo tudo por
, obtemos
Definimos
então a equação fica
Passo 3
Formamos a equação característica
No caso crítico, o amortecimento satisfaz
logo o discriminante é zero e as raízes são iguais:
Passo 4
Para raiz dupla a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Sejam as condições iniciais
e
. Calculamos
e
então em
:
Resposta
A solução horária no caso de amortecimento crítico é
com
.