Partindo da equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido, encontre a a equação horária para os casos de:
amortecimento crítico.

Passo 1

O enunciado pede a solução horária x(t) do oscilador harmônico amortecido no caso de amortecimento crítico. O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando o método da equação característica.

Passo 2

Começamos da equação de movimento
m,d^2xdt^2+b,dxdt+k,x=0
Dividindo tudo por m, obtemos
d^2xdt^2+bm,dxdt+km,x=0
Definimos
2gamma=bm e omega0^2=km,
então a equação fica
x''+2gamma,x'+omega0^2,x=0

Passo 3

Formamos a equação característica
r^2+2gamma,r+omega0^2=0
No caso crítico, o amortecimento satisfaz
gamma^2=omega0^2 Longrightarrow b^2=4mk,
logo o discriminante é zero e as raízes são iguais:
r=-gamma(dupla)

Passo 4

Para raiz dupla a solução geral da equação diferencial é
x(t)=(C1+C2,t),e^-gamma t,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Sejam as condições iniciais x(0)=x0 e x'(0)=v0. Calculamos
x(0)=C1 = x0,
e
x'(t)=C2,e^-gamma t-gamma,(C1+C2,t),e^-gamma t,
então em t=0:
v0 = x'(0)=C2-gamma,C1 Longrightarrow C2=v0+gamma,x0

Resposta

A solução horária no caso de amortecimento crítico é
x(t)=l(x0+(v0+gamma,x0),tr),e^-gamma t,
com gamma=b/(2m).

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